Bihar Board Class 12 Mathematics Chapter 2 Relations and Functions (संबंध एवं फलन) Notes | VVI Questions, MCQs, PDF

1. Learning Outcomes

इस chapter को पूरा करने के बाद आपको केवल definitions नहीं, बल्कि निम्न काम करने आने चाहिए:

• किसी relation को ordered pairs के रूप में पढ़ना और बनाना।
• Cartesian Product में ordered pairs की संख्या निकालना।
• यह पहचानना कि दिया गया relation function है या नहीं।
• Domain, Codomain और Range को अलग-अलग पहचानना।
• One-One, Many-One, Into और Onto की conditions को mapping पर लागू करना।
• Composite Function में सही order के साथ calculation करना।
• Inverse function निकालकर उसे composition से verify करना।
• किसी relation के Reflexive, Symmetric और Transitive होने की जाँच करना।
• Equivalence Relation के लिए तीनों conditions को एक साथ verify करना।
• गलत answer के पीछे की mathematical mistake पहचानना।

2. पूरे अध्याय का Concept Map

इस chapter को याद करने के बजाय इसकी logical chain समझें:

3. Relation और Ordered Pair

3.1 Ordered Pair क्या है?

दो elements को निश्चित क्रम में लिखने पर ordered pair प्राप्त होता है। Ordered pair में order महत्वपूर्ण होता है।

3.2 Relation क्या है?

यदि A और B दो sets हैं, तो A से B का relation, Cartesian Product A × B का कोई subset होता है।

उदाहरण

A = {1, 2, 3} और B = {2, 4, 6} लें। यदि rule y = 2x है, तो:

R = {(1,2), (2,4), (3,6)}

यहाँ हर ordered pair rule y = 2x को satisfy करता है।

4. Cartesian Product

A × B वह set है जिसमें A के प्रत्येक element को B के प्रत्येक element के साथ ordered pair बनाया जाता है।

उदाहरण

A = {1,2}, B = {a,b}

A × B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}

Cardinality का नियम

यदि n(A)=6 और n(B)=5, तो:

n(A × B)=6×5=30

5. Relation के प्रमुख प्रकार

5.1 Empty Relation

जिस relation में कोई ordered pair नहीं होता, उसे Empty या Null Relation कहते हैं।

5.2 Universal Relation

किसी set A पर ऐसा relation जिसमें A के सभी possible ordered pairs मौजूद हों, Universal Relation कहलाता है।

उदाहरण: A={1,2} के लिए: R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

5.3 Identity Relation

किसी set A पर Identity Relation में केवल (a,a) प्रकार के pairs होते हैं।

A={1,2,3} के लिए: R={(1,1),(2,2),(3,3)}

5.4 Inverse Relation

यदि R में (a,b) है, तो inverse relation R^-1 में (b,a) होगा।

6. Reflexive, Symmetric और Transitive Relation

6.1 Reflexive

यदि set A के प्रत्येक a के लिए (a,a) ∈ R हो, तो R Reflexive है।

6.2 Symmetric

यदि (a,b) ∈ R होने पर (b,a) भी R में हो, तो R Symmetric है।

6.3 Transitive

यदि (a,b) ∈ R और (b,c) ∈ R होने पर (a,c) ∈ R भी हो, तो R Transitive है।

7. Equivalence Relation

कोई relation तभी Equivalence Relation कहलाता है जब वह एक साथ Reflexive, Symmetric और Transitive तीनों properties satisfy करे।

Proof-checklist

1. हर element के लिए (a,a) check करें।
2. हर (a,b) के reverse (b,a) को check करें।
3. जहाँ (a,b) और (b,c) हैं, वहाँ (a,c) check करें।

यदि तीनों tests पास हो जाएँ, तभी relation को Equivalence Relation कहें। केवल एक या दो properties पर्याप्त नहीं हैं।

8. Function की मूल अवधारणा

Function एक विशेष प्रकार का relation है जिसमें domain का प्रत्येक element codomain के exactly one element से map होता है।

Function पहचानने की practical method

1. पहले inputs पहचानें।
2. देखें कि कोई input दो अलग outputs से तो नहीं जुड़ा।
3. यदि किसी input की दो अलग images हैं, तो वह function नहीं है।
4. अलग inputs का same output होना allowed है; इससे function अपने-आप invalid नहीं होता।

9. Domain, Codomain और Range

उदाहरण

A={1,2,3}, B={a,b,c,d}

f(1)=a, f(2)=b, f(3)=b

• Domain: {1,2,3}
• Codomain: {a,b,c,d}
• Range: {a,b}

यहाँ c और d codomain में हैं, लेकिन किसी input से प्राप्त नहीं हुए। इसलिए वे range में नहीं हैं।

10. Functions के प्रकार

10.1 One-One Function

यदि अलग-अलग inputs की images अलग-अलग हों, तो function One-One है।

10.2 Many-One Function

यदि दो या अधिक अलग inputs की image एक ही output हो सकती है, तो function Many-One है।

10.3 Onto Function

यदि codomain का प्रत्येक element कम-से-कम एक input की image है, तो function Onto है।

10.4 Into Function

यदि codomain के कुछ elements किसी input की image नहीं हैं, तो function Into है।

10.5 Bijective Function

जो function One-One और Onto दोनों हो, वह Bijective है।

11. Composite Function

जब एक function के output को दूसरे function के input के रूप में इस्तेमाल किया जाता है, तो composite function प्राप्त होता है।

सबसे महत्वपूर्ण बात: order

(g ∘ f)(x) में पहले f और फिर g लागू होता है।

12. Inverse Function

Inverse function मूल mapping को reverse करता है। दिए गए domain और codomain के संदर्भ में किसी function का inverse function होने के लिए bijectivity महत्वपूर्ण है।

Inverse निकालने की विधि

1. y=f(x) लिखें।
2. x और y को interchange करें।
3. नए equation में y को x के रूप में solve करें।
4. प्राप्त expression को f^-1(x) लिखें।

Inverse को verify कैसे करें?

यदि inverse सही है, तो उचित domain/codomain पर composition से identity मिलेगी:

x² का inverse क्यों सावधानी मांगता है?

f(x)=x² को पूरे real numbers पर लें तो f(2)=f(-2)=4। इसलिए यह One-One नहीं है और इस पूरे domain पर function का inverse function नहीं बनता। यदि domain को उपयुक्त रूप से restrict किया जाए, तो स्थिति बदल सकती है।

13. Identity Function

Identity Function में प्रत्येक input स्वयं पर map होता है।

उदाहरण: I(2)=2, I(5)=5 और I(-3)=-3. उचित domain और codomain के संदर्भ में Identity Function One-One और Onto दोनों होता है।

14. Common Mistakes और Error Analysis

15. Concept-Based Solved Examples

Example 1: Function या नहीं?

R={(1,2),(2,3),(3,4)}

पहले elements 1,2,3 हैं और प्रत्येक केवल एक output से जुड़ा है। इसलिए R function है।

Example 2: Function नहीं

R={(1,2),(1,4),(2,5)}

Input 1 की दो images हैं। इसलिए यह function नहीं है।

Example 3: Range पहचानना

Domain={1,2,3}, Codomain={4,5,6,7}

f(1)=4, f(2)=5, f(3)=5

Range={4,5}. इसलिए function Onto नहीं है क्योंकि 6 और 7 unused हैं।

Example 4: One-One test

यदि f(a)=f(b) से a=b निकलता है, तो One-One condition satisfy होती है।

Example 5: Composite Function

f(x)=x+4, g(x)=2x

(g∘f)(2)=g(f(2))=g(6)=12.

Example 6: Inverse

f(x)=x-8

y=x-8 ⇒ x=y+8

इसलिए f^-1(x)=x+8.

Example 7: Equivalence test

किसी relation के लिए पहले Reflexive, फिर Symmetric और अंत में Transitive test करें। तीनों conditions पूरी होने पर ही Equivalence Relation का निष्कर्ष दें।

16. Board-style Practice Questions

नीचे के प्रश्न अभ्यास के लिए हैं। इन्हें बिना किसी वास्तविक प्रश्नपत्र का year/source दिए “PYQ” नहीं कहा गया है।

MCQ Practice

1. Ordered Pair में क्या महत्वपूर्ण है?
   A) रंग   B) क्रम   C) आकार   D) केवल दूसरा element

   उत्तर: B — Ordered pair में order महत्वपूर्ण है।

2. यदि n(A)=3 और n(B)=4, तो n(A×B) कितना है?
   A) 7   B) 12   C) 24   D) 1

   उत्तर: B — 3×4=12.

3. प्रत्येक Function क्या होता है?
   A) Relation   B) Matrix   C) Vector   D) इनमें से कोई नहीं

   उत्तर: A — Function relation का विशेष प्रकार है।

4. यदि किसी input की दो अलग images हैं, तो दिया गया relation:
   A) Function है   B) Function नहीं है   C) हमेशा Onto है   D) Identity है

   उत्तर: B

5. Range किससे संबंधित है?
   A) Actual outputs   B) केवल inputs   C) पूरा domain   D) कोई set नहीं

   उत्तर: A

6. Range=Codomain होने पर function:
   A) Into   B) Onto   C) Constant   D) Empty

   उत्तर: B

7. f(a)=f(b) ⇒ a=b किस property की पहचान है?
   A) One-One   B) Onto   C) Into   D) Universal

   उत्तर: A

8. Bijective Function किसका combination है?
   A) Reflexive + Symmetric
   B) One-One + Onto
   C) Into + Many-One
   D) Empty + Universal

   उत्तर: B

9. (g∘f)(x) का सही रूप:
   A) f(g(x))   B) g(f(x))   C) f(x)+g(x)   D) f(x)g(x)

   उत्तर: B

10. Identity Function का सामान्य रूप:
    A) x²   B) x+1   C) x   D) 2x

    उत्तर: C

11. Equivalence Relation के लिए कितनी मुख्य properties आवश्यक हैं?
    A) 1   B) 2   C) 3   D) 4

    उत्तर: C — Reflexive, Symmetric और Transitive.

12. यदि R={(1,2),(3,4)}, तो R^-1 क्या होगा?
    A) {(1,2),(3,4)}
    B) {(2,1),(4,3)}
    C) {(1,3),(2,4)}
    D) ∅

    उत्तर: B

13. f(x)=3x+2 हो तो f(5):
    A) 15   B) 17   C) 13   D) 10

    उत्तर: B

14. f(x)=x² पूरे real numbers पर One-One है?
    A) हाँ   B) नहीं   C) केवल x=0 पर   D) हमेशा Bijective

    उत्तर: B — f(2)=f(-2).

15. यदि A में 3 और B में 2 elements हैं, तो A से B में One-One function:
    A) 0   B) 2   C) 4   D) 6

    उत्तर: A

16. यदि Range={a,b} और Codomain={a,b,c}, तो function:
    A) Onto   B) Into   C) Identity   D) Universal

    उत्तर: B

17. f(x)=2x+5 का inverse:
    A) (x+5)/2   B) (x-5)/2   C) 2x-5   D) x/2+5

    उत्तर: B

18. Reflexive Relation में प्रत्येक a के लिए:
    A) (a,b)   B) (b,a)   C) (a,a)   D) (a,c)

    उत्तर: C

19. Symmetric Relation में (a,b) होने पर:
    A) (a,a)   B) (b,a)   C) (b,b)   D) (a,c)

    उत्तर: B

20. Transitive Relation में (a,b) और (b,c) होने पर:
    A) (a,c)   B) (c,a)   C) (b,a)   D) कोई condition नहीं

    उत्तर: A

Practice के बाद अपनी गलती classify करें

• Definition की गलती
• Condition पहचानने की गलती
• Calculation की गलती
• Notation की गलती
• Question को जल्दी पढ़ने की गलती

17. Assertion-Reason Practice

हर प्रश्न में पहले Assertion और Reason को अलग-अलग सत्यापित करें। फिर देखें कि Reason Assertion की सही explanation है या नहीं।

Question 1

Assertion: प्रत्येक Function एक Relation है।

Reason: Function Relation का विशेष प्रकार है।

उत्तर: दोनों सत्य और Reason सही explanation है।

Question 2

Assertion: प्रत्येक Relation Function है।

Reason: किसी relation में एक input की एक से अधिक images हो सकती हैं।

उत्तर: Assertion गलत, Reason सही।

Question 3

Assertion: Onto Function में Range और Codomain समान हैं।

Reason: Codomain का प्रत्येक element किसी input की image है।

उत्तर: दोनों सत्य और Reason सही explanation है।

Question 4

Assertion: f(x)=x² पूरे real numbers पर One-One नहीं है।

Reason: f(2)=f(-2)=4.

उत्तर: दोनों सत्य और Reason सही explanation है।

Question 5

Assertion: (g∘f)(x) में पहले g लागू होता है।

Reason: (g∘f)(x)=g(f(x)).

उत्तर: Assertion गलत, Reason सही।

Question 6

Assertion: Identity Function f(x)=x होता है।

Reason: प्रत्येक input स्वयं पर map होता है।

उत्तर: दोनों सत्य और Reason सही explanation है।

Question 7

Assertion: Equivalence Relation के लिए Reflexive, Symmetric और Transitive तीनों आवश्यक हैं।

Reason: इनमें से किसी एक property के न होने पर भी relation Equivalence हो सकता है।

उत्तर: Assertion सही, Reason गलत।

Question 8

Assertion: Range हमेशा Codomain के बराबर होती है।

Reason: हर function Onto होता है।

उत्तर: दोनों गलत।

18. Case-Based Practice

Case 1: Student और Roll Number

एक class में प्रत्येक student को unique roll number दिया गया है। Student → Roll Number mapping में अलग students को अलग roll numbers मिलते हैं।

प्रश्न: कौन-सी property दिखाई देती है?

उत्तर: One-One property, क्योंकि अलग inputs की images अलग हैं।

Case 2: Student और Marks

दो अलग students के marks समान हो सकते हैं। Student → Marks mapping को देखें।

उत्तर: यह Many-One हो सकती है। समान output होना function को invalid नहीं करता।

Case 3: Product और Price

किसी समय पर प्रत्येक product के लिए एक listed price निर्धारित है।

उत्तर: Product → Price एक function हो सकता है। लेकिन केवल इस information से One-One या Onto होने का निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता।

Case 4: Employee और Department

कई employees एक ही department में काम कर सकते हैं।

उत्तर: Employee → Department mapping Many-One हो सकती है।

Case 5: Square Function

f(x)=x² पूरे real numbers पर दिया है।

उत्तर: One-One नहीं, क्योंकि 2 और -2 दोनों का output 4 है।

Case 6: Two-Step Process

पहले f और उसके बाद g apply किया जाता है।

उत्तर: यह Composite Function है और उसका रूप g(f(x)) है।

19. Written Practice Questions

अति लघु उत्तरीय

1. Relation की परिभाषा लिखिए।
2. Ordered Pair क्या है?
3. Cartesian Product क्या है?
4. Domain और Range में अंतर लिखिए।
5. One-One Function की परिभाषा लिखिए।

लघु उत्तरीय

6. समझाइए कि प्रत्येक Function Relation क्यों है, लेकिन प्रत्येक Relation Function क्यों नहीं है।
7. Empty और Universal Relation में अंतर लिखिए।
8. Reflexive और Symmetric Relation में अंतर उदाहरण सहित बताइए।
9. Into और Onto Function में अंतर समझाइए।
10. Composite Function का उदाहरण दीजिए।

दीर्घ/Analytical Practice

11. दिए गए relation की Reflexive, Symmetric और Transitive properties जाँचने की method लिखिए।
12. f(x)=x² के One-One न होने को उदाहरण से सिद्ध कीजिए।
13. f(x)=4x+3 का inverse निकालिए और composition से verify कीजिए।
14. Domain, Codomain और Range को एक mapping example के साथ समझाइए।
15. (g∘f)(x) और (f∘g)(x) के बीच अंतर example सहित स्पष्ट कीजिए।

20. Challenge Questions: क्या आप concept apply कर सकते हैं?

21. 10-Minute Self-Test

नीचे के प्रश्नों के उत्तर बिना notes देखे दें। यहाँ answer याद करने से अधिक महत्वपूर्ण है कि आप reasoning बता सकें।

1. Relation और Function में सबसे महत्वपूर्ण condition क्या है?
2. Domain किसे कहते हैं?
3. Codomain और Range अलग क्यों हैं?
4. One-One की पहचान कैसे करेंगे?
5. Onto की पहचान कैसे करेंगे?
6. Bijective का अर्थ क्या है?
7. (g∘f)(x) में पहले कौन-सा function लागू होता है?
8. Inverse निकालने के बाद उसे कैसे verify करेंगे?
9. Equivalence Relation की तीन conditions क्या हैं?
10. x² पूरे real numbers पर One-One क्यों नहीं है?

Self-evaluation

• 9–10: Concept और application दोनों मजबूत हैं।
• 7–8: कुछ conditions दोबारा revise करें।
• 5–6: Domain/Range और function types पर दोबारा काम करें।
• 0–4: पहले concept sections पढ़ें, फिर practice दोबारा करें।

22. Final Revision Sheet

23. इस Chapter को प्रभावी तरीके से पढ़ने की Strategy

Step 1: Mapping को समझें

पहले यह देखें कि कौन-सा set input है और कौन-सा output। बिना mapping समझे One-One या Onto का answer अनुमान से न दें।

Step 2: Definition को condition में बदलें

“One-One” पढ़ते ही f(a)=f(b) ⇒ a=b जैसी usable condition याद करें। “Onto” पढ़ते ही Range=Codomain की जाँच करें।

Step 3: Answer को verify करें

विशेषकर inverse और composite questions में final answer को वापस equation में रखकर check करना calculation mistakes कम करता है।

Step 4: गलत question का कारण लिखें

केवल सही answer देखकर आगे बढ़ने के बजाय यह लिखें कि गलती definition, condition, calculation या notation में हुई थी।

Step 5: नए उदाहरण पर concept लगाएँ

यदि आप definition को अपने बनाए हुए example पर लागू कर सकते हैं, तभी समझें कि concept वास्तव में समझ में आया है।

24. Frequently Asked Questions

Relation और Function में क्या अंतर है?

Function एक विशेष relation है जिसमें domain के प्रत्येक input की exactly one image होती है।

क्या हर Relation Function होता है?

नहीं। यदि किसी input की एक से अधिक images हों, तो वह relation function नहीं होगा।

क्या अलग-अलग inputs का same output हो सकता है?

हाँ। ऐसा function Many-One हो सकता है। इससे function की basic definition नहीं टूटती।

क्या Range और Codomain हमेशा समान होते हैं?

नहीं। Onto function में Range और Codomain समान होते हैं।

Bijective Function क्या है?

जो function One-One और Onto दोनों हो, वह Bijective है।

Composite Function में पहले कौन-सा function लगता है?

(g∘f)(x)=g(f(x)) में पहले f और उसके बाद g लगता है।

क्या f^-1(x) का अर्थ 1/f(x) है?

नहीं। f^-1 inverse function को दर्शाता है; reciprocal अलग concept है।

Equivalence Relation के लिए कौन-सी properties चाहिए?

Reflexive, Symmetric और Transitive तीनों।

25. विद्यार्थी के लिए अंतिम संदेश

संबंध एवं फलन अध्याय में marks बढ़ाने का सबसे अच्छा तरीका केवल बहुत सारे MCQs याद करना नहीं है। यदि आप किसी mapping को देखकर यह तय कर सकते हैं कि कौन-सा input किस output से जुड़ा है, फिर उसी आधार पर function की property पहचान सकते हैं, तो नए प्रश्न भी हल करना आसान हो जाता है।

इसलिए इस page को तीन बार अलग-अलग उद्देश्य से उपयोग करें:

1. पहली बार: concepts समझने के लिए।
2. दूसरी बार: examples और practice बिना answer देखे हल करने के लिए।
3. तीसरी बार: Self-Test और error analysis के लिए।

यही approach रटने के बजाय mathematical reasoning विकसित करती है।