Bihar Board Class 12 Maths Chapter 4 VVI Important Questions: Determinants (सारणिक)
अगर आपने सारणिक (Determinants) का पूरा अध्याय पढ़ लिया है और अब परीक्षा से पहले केवल वही प्रश्न अभ्यास करना चाहते हैं जिनसे आपके concept, calculation और answer-writing की तैयारी एक साथ हो सके, तो यह प्रश्न-संग्रह आपके लिए है।
यह पेज chapter notes का दोहराव नहीं है। यहाँ परिभाषाओं की लंबी व्याख्या के बजाय VVI प्रश्न, concept-based questions, step-wise solutions, common mistakes, question पहचानने की technique और self-check practice पर ध्यान दिया गया है।
इस Important Questions Set को कैसे पढ़ें?
① पहले खुद हल करें
प्रश्न देखते ही solution न पढ़ें। 2–5 मिनट स्वयं प्रयास करें।
② फिर solution मिलाएँ
केवल उत्तर नहीं, बल्कि आपने कौन-सा operation लगाया है यह भी check करें।
③ गलती का कारण लिखें
Sign, row/column operation या calculation की गलती को अलग से नोट करें।
Chapter 4 Important Questions का Smart Map
सारणिक के प्रश्नों में केवल formula याद करना पर्याप्त नहीं होता। परीक्षा में अच्छे अंक के लिए यह पहचानना जरूरी है कि प्रश्न में property, expansion, determinant equation, area of triangle, inverse/adjoint या system of equations में से किस approach की जरूरत है।
| प्रश्न का प्रकार | क्या पहचानना है? | मुख्य तैयारी |
|---|---|---|
| MCQ | Property और direct formula | तेज calculation + sign accuracy |
| लघु उत्तरीय | कम steps में सही operation | Row/Column transformation |
| सारणिक का मान | Expansion से पहले zeros बनाना | Properties का practical use |
| क्षेत्रफल | Coordinate determinant formula | Sign और absolute value |
| दीर्घ उत्तरीय | सही sequence of operations | Step-wise presentation |
| समीकरणों का हल | Determinant/Cramer's rule का उपयोग | Calculation और condition check |
भाग 1: सबसे महत्वपूर्ण MCQs
इन प्रश्नों का उद्देश्य केवल answer याद कराना नहीं है। प्रत्येक प्रश्न के नीचे छोटा explanation दिया गया है ताकि अगली बार इसी concept का बदला हुआ प्रश्न भी हल किया जा सके।
प्रश्न 1. किसी सारणिक की दो पंक्तियों को आपस में बदलने पर उसका मान क्या होगा?
- अपरिवर्तित रहेगा
- दोगुना हो जाएगा
- चिह्न बदल जाएगा
- शून्य हो जाएगा
याद रखने का तरीका: दो rows या दो columns interchange करने पर determinant का magnitude वही रहता है, लेकिन sign बदल जाता है।
प्रश्न 2. यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हों, तो उसका मान क्या होगा?
- 1
- -1
- 0
- 2
समान दो rows होने पर determinant की value शून्य होती है। यही बात समान दो columns पर भी लागू होती है।
प्रश्न 3. यदि A एक 3 × 3 matrix है, तो |adj A| का मान क्या होगा?
- |A|
- |A|²
- |A|³
- 3|A|
यदि A की order n × n है, तो \( |adj(A)| = |A|^{n-1} \). यहाँ n = 3 है।
प्रश्न 4. यदि किसी determinant की एक पूरी row के सभी elements शून्य हों, तो determinant का मान क्या होगा?
- 1
- -1
- 0
- निर्धारित नहीं किया जा सकता
जिस row या column के सभी elements zero हों, determinant सीधे zero हो जाता है।
प्रश्न 5. 2 × 2 determinant \(\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix}\) का मान क्या है?
- ab - cd
- ad - bc
- ac - bd
- ad + bc
2 × 2 determinant के लिए मुख्य formula: \(ad-bc\). Sign की गलती इस प्रकार के MCQ में सबसे common mistake है।
प्रश्न 6. यदि |A| = 0 है, तो matrix A के बारे में कौन-सा कथन सही है?
- A हमेशा identity matrix है
- A singular matrix है
- A diagonal matrix ही होगी
- A orthogonal matrix होगी
किसी square matrix के लिए determinant zero होने पर matrix singular कहलाती है।
भाग 2: VVI लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 7. निम्न determinant का मान ज्ञात कीजिए:
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & b+c\\ 1 & b & c+a\\ 1 & c & a+b \end{vmatrix} \]
हल:
\(C_3 \rightarrow C_3+C_2\) करने पर:
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & a+b+c\\ 1 & b & a+b+c\\ 1 & c & a+b+c \end{vmatrix} \]
अब तीसरे column से \(a+b+c\) common लेने पर:
\[ \Delta=(a+b+c) \begin{vmatrix} 1&a&1\\ 1&b&1\\ 1&c&1 \end{vmatrix} \]
यहाँ पहला और तीसरा column समान हैं। इसलिए determinant का मान zero होगा।
प्रश्न 8. बिंदुओं (1, 3), (0, 0) तथा (k, 0) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है। k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल:
\[ A=\frac12 \left| \begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix} \right| \]
अतः
\[ 3=\frac12 \left| \begin{vmatrix} 1&3&1\\ 0&0&1\\ k&0&1 \end{vmatrix} \right| \]
determinant का मान निकालने पर:
\[ 3=\frac{|3k|}{2} \]
इसलिए:
\[ |k|=2 \]
प्रश्न 9. यदि \[ \begin{vmatrix} x&2\\ 3&4 \end{vmatrix}=10 \] तो x का मान ज्ञात कीजिए।
\[ 4x-(2\times3)=10 \]
\[ 4x-6=10 \]
\[ 4x=16 \]
प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी determinant की दो rows समान हैं, तो उसका मान zero होता है।
मान लीजिए determinant की दो rows समान हैं। दोनों rows को interchange करने पर determinant का sign बदल जाएगा, लेकिन क्योंकि rows समान हैं, determinant की numerical value नहीं बदलती।
इसलिए:
\[ \Delta=-\Delta \]
अतः:
\[ 2\Delta=0 \]
भाग 3: VVI दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
इन प्रश्नों में केवल final answer याद करने के बजाय यह समझना जरूरी है कि कौन-सी row/column operation कब लगानी है। यही skill बदले हुए प्रश्न में भी काम आती है।
प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए:
\[ \begin{vmatrix} a-b-c&2a&2a\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{vmatrix} =(a+b+c)^3 \]
हल:
मान लेते हैं कि बाईं ओर का determinant \(\Delta\) है।
\(R_1\rightarrow R_1+R_2+R_3\) करने पर:
\[ \Delta= \begin{vmatrix} a+b+c&a+b+c&a+b+c\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{vmatrix} \]
प्रथम row से \(a+b+c\) common लेने पर:
\[ \Delta=(a+b+c) \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{vmatrix} \]
अब: \(C_2\rightarrow C_2-C_1\) तथा \(C_3\rightarrow C_3-C_1\) करने पर:
\[ \Delta=(a+b+c) \begin{vmatrix} 1&0&0\\ 2b&-(a+b+c)&0\\ 2c&0&-(a+b+c) \end{vmatrix} \]
प्रथम row के along expansion करने पर:
\[ \Delta=(a+b+c)(a+b+c)^2 \]
प्रश्न 12. सारणिक के प्रयोग से बिंदुओं \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \((x_3,y_3)\) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए तथा उसका प्रयोग कीजिए।
उत्तर:
तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल:
\[ A= \frac12 \left| \begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix} \right| \]
इस formula में determinant निकालने के बाद उसका absolute value लेना आवश्यक है, क्योंकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता।
प्रश्न 13. सारणिक के गुणधर्मों का उपयोग करके किसी determinant को सरल करने की विधि उदाहरण सहित समझाइए।
बड़े determinant को सीधे expansion करने के बजाय पहले ऐसी row या column operation चुननी चाहिए जिससे अधिकतम elements zero हो जाएँ।
उदाहरण के लिए यदि किसी determinant में एक column के elements को किसी दूसरी column से घटाने पर दो या तीन elements zero हो जाते हैं, तो:
\[ C_2\rightarrow C_2-C_1 \]
जैसी operation लगाकर determinant को सरल किया जा सकता है।
भाग 4: Properties पर आधारित सबसे उपयोगी Practice Questions
नीचे दिए गए प्रश्नों में पूरा solution नहीं दिया गया है। इनका उद्देश्य आपकी question-solving ability को test करना है।
भाग 5: Application-Based Important Questions
ये प्रश्न यह जाँचते हैं कि आपने determinant को केवल formula के रूप में याद किया है या वास्तविक problem में उसका उपयोग भी कर सकते हैं।
प्रश्न 21: तीन बिंदु एक सीधी रेखा पर हैं या नहीं?
determinant method का उपयोग करके तीन दिए गए points की collinearity जाँचने की विधि बताइए।
प्रश्न 22: Area से unknown coordinate
तीन points में एक coordinate \(k\) दिया हो और triangle का area दिया हो, तो determinant की सहायता से \(k\) निकालने की प्रक्रिया समझाइए।
प्रश्न 23: Unknown parameter
determinant की value किसी निश्चित संख्या के बराबर दी हो तो variable parameter का मान निकालने वाला प्रश्न हल कीजिए।
प्रश्न 24: Cramer's Rule
तीन linear equations के system को determinants की सहायता से हल करने की प्रक्रिया का अभ्यास कीजिए।
भाग 6: Cramer's Rule से VVI Practice
प्रश्न 25. निम्न समीकरणों को determinants की सहायता से हल कीजिए:
\[ x+y+z=6 \] \[ 2x-y+z=3 \] \[ x+2y-z=2 \]
Student Approach:
- Coefficient determinant \(D\) बनाइए।
- x-column को constants से replace करके \(D_x\) निकालिए।
- y-column को constants से replace करके \(D_y\) निकालिए।
- z-column को constants से replace करके \(D_z\) निकालिए।
- फिर \(x=D_x/D,\;y=D_y/D,\;z=D_z/D\) का उपयोग कीजिए।
भाग 7: Determinants में होने वाली 8 Common Mistakes
\(ad-bc\) को \(ad+bc\) लिख देना।
जिस operation को लगाया है उसे साफ-साफ लिखें।
बिना zero बनाए सीधे लंबा expansion करने से calculation error बढ़ता है।
किसी row या column से common factor निकालते समय उसे determinant के बाहर लिखना जरूरी है।
क्षेत्रफल हमेशा non-negative होता है।
हर row/column operation determinant को समान तरीके से प्रभावित नहीं करता।
मिले हुए value को original equation में रखकर एक बार verify करें।
Long-answer में केवल final value लिखने के बजाय मुख्य operations दिखाएँ।
भाग 8: 5 अंक के प्रश्न में Answer कैसे लिखें?
Determinant के लंबे प्रश्न में presentation भी महत्वपूर्ण है। एक अच्छा उत्तर इस क्रम में लिखना आसान रहता है:
- माना: determinant को \(\Delta\) मानें।
- Operation: \(R_1\rightarrow R_1+R_2\) जैसी operation स्पष्ट लिखें।
- Simplification: common factor बाहर निकालें।
- Expansion: जिस row/column में zeros बन गए हैं, उसी के along expand करें।
- Final result: अंतिम expression को स्पष्ट रूप से लिखें।
भाग 9: 15-Minute Self Test
अब बिना solution देखे नीचे के प्रश्न हल करें। यदि इनमें से अधिकांश प्रश्न सही हो जाते हैं, तो chapter के important-question level पर आपकी तैयारी अच्छी मानी जा सकती है।
अंतिम 5-Minute Revision Checklist
निष्कर्ष: केवल प्रश्न याद नहीं, तरीका सीखिए
Determinants में अच्छे अंक पाने के लिए हर प्रश्न का answer पहले से याद करना जरूरी नहीं है। ज्यादा उपयोगी यह है कि आप प्रश्न देखकर उसकी type पहचानें और फिर सही property, row/column operation या expansion चुनें।
इस प्रश्न-संग्रह को chapter के पूरे notes का replacement न मानें। पहले concept और formulas पढ़ें, फिर यहाँ दिए गए VVI questions को बिना solution देखे हल करें। जिस प्रश्न में गलती हो, उसे दोबारा उसी method से हल करें। इस तरह आपकी तैयारी केवल याद करने पर नहीं बल्कि question-solving skill पर आधारित होगी।
अगला कदम क्या रखें?
यदि किसी प्रश्न में बार-बार calculation या property की गलती हो रही है, तो उसी topic के chapter notes पर वापस जाकर concept revise करें और फिर इस practice set पर लौटें।
Best strategy: Concept → Solved Example → VVI Question → Self Test → Mistake Revision.
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