Bihar Board Class 12 Mathematics Chapter 4 VVI Important Questions: Determinants (सारणिक)
यह अभ्यास सामग्री बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित के अध्याय 4 सारणिक (Determinants) के महत्वपूर्ण प्रश्नों की तैयारी के लिए तैयार की गई है। यहाँ केवल प्रश्नों की सूची नहीं दी गई है, बल्कि प्रत्येक प्रश्न के साथ यह भी समझाया गया है कि उसे हल करते समय कौन-सा गुणधर्म या विधि चुनना बेहतर रहेगा। इससे विद्यार्थी केवल उत्तर याद करने के बजाय प्रश्न पहचानने और सही विधि चुनने का अभ्यास कर सकते हैं।
इस VVI प्रश्न-संग्रह को कैसे पढ़ें?
सारणिक के प्रश्नों में केवल गणना करना ही महत्वपूर्ण नहीं है। परीक्षा में समय बचाने के लिए यह पहचानना अधिक उपयोगी होता है कि किसी प्रश्न में सीधे प्रसार (Expansion) करना है, पंक्ति या स्तंभ संक्रिया करनी है, या किसी विशेष गुणधर्म का उपयोग करना है।
- पहले प्रश्न को देखकर उसमें छिपी हुई समानता या शून्य पहचानें।
- लंबी गणना शुरू करने से पहले पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं पर विचार करें।
- उत्तर लिखते समय प्रयुक्त गुणधर्म या संक्रिया को स्पष्ट रूप से लिखें।
- केवल अंतिम उत्तर याद करने के बजाय प्रश्न की विधि समझें।
- एक ही प्रश्न को दूसरी विधि से हल करने की संभावना हो तो तुलना करें।
1. परीक्षा से पहले याद रखने योग्य मुख्य संकेत
| स्थिति | सबसे पहले क्या देखें? | उपयोगी तरीका |
|---|---|---|
| दो पंक्तियाँ समान हों | सारणिक का मान | समान पंक्तियों का गुणधर्म |
| दो पंक्तियाँ या स्तंभ आपस में बदलें | चिह्न में परिवर्तन | Row/Column interchange property |
| किसी पंक्ति या स्तंभ में 0 अधिक बनाए जा सकते हों | संक्रिया की संभावना | Row/Column operation |
| 2 × 2 सारणिक हो | सीधा प्रसार | ad - bc |
| तीन बिंदुओं का क्षेत्रफल पूछा गया हो | निर्धारक का क्षेत्रफल सूत्र | Coordinate determinant formula |
| समीकरणों का समूह दिया गया हो | Coefficient determinant | Cramer's Rule / Matrix method |
2. VVI वस्तुनिष्ठ प्रश्न
इन प्रश्नों में केवल विकल्प याद करना पर्याप्त नहीं है। प्रत्येक प्रश्न के नीचे दिया गया छोटा समाधान यह बताता है कि सही विकल्प तक जल्दी कैसे पहुँचा जा सकता है।
प्रश्न 1. यदि A एक 3 × 3 वर्ग आव्यूह है, तो |adj(A)| का मान क्या होगा?
(A) |A| (B) |A|2 (C) |A|3 (D) 3|A|
यदि A की कोटि n × n है, तो
|adj(A)| = |A|n-1
यहाँ n = 3 है। इसलिए
|adj(A)| = |A|3-1 = |A|2
प्रश्न 2. यदि
| 2x 5 | = | 6 -2 |
| 8 x | | 7 3 |
तो x का मान ज्ञात कीजिए।
(A) ±6 (B) ±3 (C) 6 (D) 0
दोनों 2 × 2 सारणिकों का मान निकालते हैं:
2x × x - 5 × 8 = 6 × 3 - (-2 × 7)
2x2 - 40 = 18 + 14
2x2 = 72
x2 = 36
x = ±6
प्रश्न 3. किसी सारणिक की दो पंक्तियों को आपस में बदलने पर उसका मान:
(A) शून्य हो जाता है
(B) अपरिवर्तित रहता है
(C) चिह्न बदल जाता है
(D) दुगना हो जाता है
यदि किसी determinant की दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदल दिया जाए, तो determinant का नया मान मूल मान का ऋणात्मक हो जाता है।
Δ' = -Δ
3. VVI लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 4. निम्न सारणिक का मान ज्ञात कीजिए:
Δ = | 1 a b+c |
| 1 b c+a |
| 1 c a+b |
समाधान
यहाँ सीधे expansion करने पर गणना लंबी हो सकती है। इसलिए पहले तीसरे स्तंभ में दूसरी और तीसरी प्रविष्टियों को सरल करने के लिए column operation का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।
C3 → C3 + C2
Δ = | 1 a a+b+c |
| 1 b a+b+c |
| 1 c a+b+c |
तीसरे स्तंभ से (a+b+c) बाहर लेने पर:
Δ = (a+b+c) | 1 a 1 |
| 1 b 1 |
| 1 c 1 |
अब पहला और तीसरा स्तंभ समान हैं। इसलिए determinant का मान शून्य होगा।
Δ = 0
प्रश्न 5. बिंदु (1, 3), (0, 0) तथा (k, 0) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है। k का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान
तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल determinant द्वारा:
Area = 1/2 | x1 y1 1 |
| x2 y2 1 |
| x3 y3 1 |
±3 = 1/2 | 1 3 1 |
| 0 0 1 |
| k 0 1 |
दूसरे row के along expansion करने पर:
±3 = 3k/2
इसलिए दो संभावनाएँ प्राप्त होंगी:
3 = 3k/2 ⇒ k = 2
-3 = 3k/2 ⇒ k = -2
अतः k = ±2
4. VVI दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए:
| a-b-c 2a 2a |
| 2b b-c-a 2b |
| 2c 2c c-a-b | = (a+b+c)3
समाधान
इस प्रकार के प्रश्न में सीधे determinant expand करने से गणना काफी लंबी हो सकती है। इसलिए ऐसी row operation चुनना बेहतर है जिससे पहली row के तीनों entries एक समान बन जाएँ।
R1 → R1 + R2 + R3
Δ = | a+b+c a+b+c a+b+c |
| 2b b-c-a 2b |
| 2c 2c c-a-b |
पहली row से (a+b+c) बाहर लेने पर:
Δ = (a+b+c) | 1 1 1 |
| 2b b-c-a 2b |
| 2c 2c c-a-b |
अब:
C2 → C2 - C1
C3 → C3 - C1
Δ = (a+b+c) | 1 0 0 |
| 2b -(a+b+c) 0 |
| 2c 0 -(a+b+c) |
अब पहली row के along expansion करना बहुत आसान है:
Δ = (a+b+c) [(a+b+c)2]
Δ = (a+b+c)3
अतः सिद्ध हुआ।
5. प्रश्न हल करने की रणनीति: पहले क्या देखें?
सारणिक के प्रश्नों में सबसे अधिक समय अनावश्यक calculation में जा सकता है। इसलिए परीक्षा में नीचे दिए गए क्रम का पालन करना उपयोगी रहेगा।
- समान entries खोजें: क्या किसी row या column में समान या लगभग समान पद हैं?
- शून्य बनाने की कोशिश करें: क्या Ri → Ri ± Rj या Ci → Ci ± Cj से calculation आसान होगी?
- Expansion का स्थान चुनें: जिस row या column में सबसे अधिक zero हों, उसी से expansion करना सामान्यतः आसान होता है।
- Sign की जाँच करें: cofactor expansion में +, −, + का pattern ध्यान रखें।
- अंतिम उत्तर की जाँच करें: यदि प्रश्न में area, length या अन्य वास्तविक मात्रा पूछी गई है, तो उसका अर्थ भी ध्यान में रखें।
6. विद्यार्थी अक्सर कहाँ गलती करते हैं?
| गलती | सही तरीका |
|---|---|
| हर determinant को सीधे expand करना | पहले properties और row/column operations देखें। |
| Row interchange के बाद sign न बदलना | दो rows interchange होने पर determinant का sign बदलता है। |
| ± वाले उत्तर में केवल positive value लिखना | प्रश्न की condition के अनुसार दोनों possibilities जाँचें। |
| Operation लिखे बिना सीधे अगला determinant लिख देना | हर महत्वपूर्ण row/column operation स्पष्ट रूप से लिखें। |
| अंतिम उत्तर को दोबारा check न करना | प्राप्त result को मूल प्रश्न में रखकर verify करें। |
7. शिक्षक के लिए उपयोगी कक्षा-अभ्यास
शिक्षक इस प्रश्न-संग्रह का उपयोग केवल homework के रूप में न करके method selection activity के रूप में भी कर सकते हैं। विद्यार्थियों को पहले solution दिखाए बिना यह पूछें कि प्रत्येक प्रश्न में कौन-सी property या operation सबसे उपयुक्त होगी।
- पहले प्रश्न में formula पहचानने को कहें।
- दूसरे प्रश्न में determinant equation बनवाएँ।
- तीसरे प्रश्न में property का नाम और परिणाम पूछें।
- लघु प्रश्नों में direct expansion और operation-based method की तुलना करवाएँ।
- दीर्घ प्रश्न में विद्यार्थियों से सबसे पहले उपयुक्त row operation चुनने को कहें।
8. त्वरित अभ्यास: स्वयं हल करें
अभ्यास 1: यदि किसी determinant की दो rows समान हैं, तो उसका मान क्या होगा?
संकेत: determinant की समान rows वाली property याद करें।
अभ्यास 2: यदि किसी determinant की दो columns interchange कर दी जाएँ, तो नए determinant और पुराने determinant में क्या संबंध होगा?
संकेत: sign में परिवर्तन पर ध्यान दें।
अभ्यास 3: तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए determinant का कौन-सा सूत्र प्रयोग किया जाता है?
संकेत: coordinates को 3 × 3 determinant में व्यवस्थित करें।
अभ्यास 4: किसी 3 × 3 determinant में पहली row के सभी entries समान बनाने के बाद कौन-सी अगली strategy calculation को आसान कर सकती है?
संकेत: columns में zero बनाने का प्रयास करें।
9. अंतिम Revision Checklist
परीक्षा से पहले इस अध्याय के VVI प्रश्नों को दोहराते समय केवल उत्तरों को पढ़ने के बजाय नीचे की checklist से अपनी तैयारी जाँचें:
क्या आप बिना calculation के प्रमुख determinant properties पहचान सकते हैं?
क्या आप calculation कम करने के लिए सही operation चुन सकते हैं?
क्या आप zero वाली row या column से expansion करना जानते हैं?
क्या आप प्रत्येक step और operation को साफ-साफ लिख सकते हैं?
निष्कर्ष
सारणिक के VVI प्रश्नों की तैयारी का सबसे प्रभावी तरीका केवल प्रश्नों के उत्तर याद करना नहीं है। हर प्रश्न में यह पहचानना जरूरी है कि कौन-सा गुणधर्म, कौन-सी row/column operation या कौन-सी expansion method calculation को सबसे छोटा और स्पष्ट बनाएगी। यदि विद्यार्थी इस approach से प्रश्नों का अभ्यास करते हैं, तो वे नए रूप में पूछे गए determinant questions को भी अधिक आसानी से हल कर पाएँगे।
Abhi koi comment nahi hai. Pehla comment add kijiye.