Bihar Board Class 12 Mathematics Chapter 3 Notes in Hindi | Matrices (आव्यूह) सम्पूर्ण नोट्स

theEduAiHub Editor Team Last updated: 21 Sep 2026

Bihar Board Class 12 Mathematics Chapter 3 आव्यूह (Matrices) Notes in Hindi. सरल भाषा में सम्पूर्ण नोट्स, परिभाषा, प्रकार, उदाहरण, हल किए गए प्रश्न, परीक्षा टिप्स एवं बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण अवधारणाएँ।

Bihar Board Class 12 Mathematics Chapter 3 Notes in Hindi | Matrices (आव्यूह) सम्पूर्ण नोट्स

Bihar Board Class 12 Mathematics Chapter 3: आव्यूह (Matrices) Notes in Hindi

कक्षा 12 गणित में आव्यूह (Matrices) एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इस अध्याय को समझने के लिए केवल सूत्र याद करना पर्याप्त नहीं है। यह जानना भी जरूरी है कि किसी Matrix की order कैसे पहचानें, किसी element aij का अर्थ क्या है, दो matrices को कब जोड़ा जा सकता है और matrix multiplication कब संभव होता है।

इस अध्याय में हम Matrix की परिभाषा, elements, rows, columns, order, matrices के प्रकार, equality, addition, subtraction, multiplication, transpose, symmetric matrix, skew-symmetric matrix तथा inverse को उदाहरणों के साथ समझेंगे।

अध्ययन का तरीका: इस chapter को केवल formulas की तरह याद न करें। प्रत्येक concept के साथ उसका rule, example और common mistake समझने की कोशिश करें। इससे objective और subjective दोनों प्रकार के प्रश्नों को हल करना आसान होगा।

📚 इस अध्याय में क्या पढ़ेंगे?

  • आव्यूह (Matrix) क्या है?
  • Matrix के Elements, Rows और Columns
  • Matrix की Order
  • Matrix में aij का अर्थ
  • आव्यूह के विभिन्न प्रकार
  • दो matrices की equality
  • Matrix Addition और Subtraction
  • Matrix Multiplication और उसकी condition
  • Transpose of a Matrix
  • Symmetric और Skew-Symmetric Matrix
  • Matrix को symmetric तथा skew-symmetric भागों में विभाजित करना
  • Inverse Matrix का basic concept
  • 2 × 2 Matrix का inverse
  • Common mistakes और exam strategy

1. आव्यूह (Matrix) क्या है?

जब संख्याओं, variables या mathematical expressions को पंक्तियों (Rows) और स्तम्भों (Columns) में एक निश्चित क्रम से व्यवस्थित किया जाता है, तो इस rectangular arrangement को Matrix (आव्यूह) कहते हैं।

उदाहरण:

A = [ 2  5  7
4  1  9 ]

ऊपर दिए गए matrix में:

  • Rows = 2
  • Columns = 3
  • Total elements = 6
  • Order = 2 × 3
याद रखें: Matrix की order हमेशा Rows × Columns होती है।

2. Matrix को Table की तरह समझें

Matrix को एक व्यवस्थित number table की तरह समझना सबसे आसान तरीका है।

Column 1 Column 2 Column 3
Row 1 10 20 30
Row 2 40 50 60

यहाँ साफ दिखाई देता है कि matrix में 2 Rows और 3 Columns हैं।

इसलिए इसकी order होगी:

Order = 2 × 3

3. Matrix के Elements और aij

Matrix के अंदर लिखी प्रत्येक quantity को Element (अवयव) कहते हैं।

सामान्यतः किसी element को aij से दर्शाया जाता है।

  • i = Row number
  • j = Column number

मान लें:

A = [ 3  8  5
7  2  9 ]

तब:

a11 = 3
a12 = 8
a23 = 9

Exam Trick

यदि पूछा जाए कि a21 का मान क्या है, तो इसका अर्थ है: दूसरी Row और पहला Column।

Common Mistake: a21 को पहला Row और दूसरा Column न समझें। पहला subscript = Row और दूसरा subscript = Column होता है।

4. Matrix की Order

यदि किसी matrix में m Rows और n Columns हैं, तो उसकी order होगी:

Order = m × n

उदाहरण:

A = [ 1  2  3
4  5  6 ]

यहाँ Rows = 2 तथा Columns = 3 हैं।

अतः:

Order of A = 2 × 3

इसमें कुल elements होंगे:

2 × 3 = 6
महत्वपूर्ण: Matrix की order और उसके total elements अलग concepts हैं। 2 × 3 matrix की order 2 × 3 है, जबकि उसमें कुल 6 elements हैं।

5. आव्यूह (Matrix) के प्रकार

Matrix के प्रकार उसके आकार तथा elements की विशेषताओं के आधार पर निर्धारित किए जाते हैं।

5.1 पंक्ति आव्यूह (Row Matrix)

जिस matrix में केवल एक Row होती है, उसे Row Matrix कहते हैं।

A = [ 2  5  7  9 ]

इसकी order: 1 × 4

5.2 स्तम्भ आव्यूह (Column Matrix)

जिस matrix में केवल एक Column होता है, उसे Column Matrix कहते हैं।

A = [ 2
5
7
9 ]

इसकी order: 4 × 1

5.3 आयताकार आव्यूह (Rectangular Matrix)

जिस matrix में Rows और Columns की संख्या अलग-अलग हो, उसे Rectangular Matrix कहते हैं।

A = [ 1  2  3
4  5  6 ]

इसकी order 2 × 3 है और: 2 ≠ 3

5.4 वर्ग आव्यूह (Square Matrix)

जिस matrix में Rows और Columns की संख्या समान हो, उसे Square Matrix कहते हैं।

A = [ 1  2
3  4 ]

इसकी order 2 × 2 है।

Rule: Square Matrix में Rows = Columns होते हैं।

5.5 Zero या Null Matrix

जिस matrix के सभी elements zero हों, उसे Zero Matrix या Null Matrix कहते हैं।

O = [ 0  0
0  0 ]

5.6 Diagonal Matrix

Square matrix में यदि main diagonal के अलावा सभी elements zero हों, तो उसे Diagonal Matrix कहते हैं।

A = [ 3  0  0
0  5  0
0  0  7 ]

5.7 Scalar Matrix

यदि किसी diagonal matrix के main diagonal के सभी elements समान हों, तो उसे Scalar Matrix कहते हैं।

A = [ 5  0  0
0  5  0
0  0  5 ]
Concept: प्रत्येक Scalar Matrix, Diagonal Matrix होती है, लेकिन प्रत्येक Diagonal Matrix Scalar Matrix नहीं होती।

5.8 Identity Matrix

जिस square matrix के main diagonal के सभी elements 1 तथा बाकी सभी elements 0 हों, उसे Identity Matrix कहते हैं।

I2 = [ 1  0
0  1 ]

Identity matrix को matrix multiplication में संख्या 1 के समान समझा जा सकता है:

AI = IA = A

5.9 Triangular Matrix

यदि main diagonal के नीचे के सभी elements zero हों, तो उसे Upper Triangular Matrix कहते हैं।

A = [ 2  4  7
0  5  8
0  0  6 ]

यदि main diagonal के ऊपर के सभी elements zero हों, तो उसे Lower Triangular Matrix कहते हैं।

B = [ 2  0  0
4  5  0
7  8  6 ]

6. दो Matrices की Equality

दो matrices A और B तभी equal होंगी जब:

  1. दोनों की order समान हो।
  2. Corresponding elements समान हों।

उदाहरण:

A = [ x  2
3  y ]
B = [ 4  2
3  7 ]

यदि A = B है, तो corresponding elements की तुलना करें:

x = 4 और y = 7
Exam Tip: Matrix equality में elements को उनकी position के अनुसार compare करें।

7. Matrix Addition

दो matrices को जोड़ने के लिए उनकी order समान होना आवश्यक है।

मान लें:

A = [ 1  2
3  4 ]
B = [ 5  6
7  8 ]

तब:

A + B = [ 1+5   2+6
3+7   4+8 ]
A + B = [ 6  8 ; 10  12 ]

यहाँ corresponding elements को जोड़ा गया है।

8. Matrix Subtraction

Matrix subtraction के लिए भी दोनों matrices की order समान होनी चाहिए।

यदि:

A = [ 8  7
6  5 ]
B = [ 1  2
3  4 ]

तो:

A − B = [ 7  5 ; 3  1 ]
ध्यान दें: सामान्यतः A − B और B − A समान नहीं होते।

9. Matrix Multiplication – सबसे महत्वपूर्ण Concept

Matrix multiplication में सबसे महत्वपूर्ण बात उसकी compatibility condition है।

यदि:

Am×n   और   Bn×p

तो AB defined होगा।

पहली Matrix के Columns की संख्या = दूसरी Matrix की Rows की संख्या

और product की order होगी:

m × p

याद रखने का आसान तरीका

(m × n)(n × p) = m × p

बीच के दोनों numbers समान होने चाहिए। बाहर के numbers result की order बताते हैं।

10. Matrix Multiplication का Solved Example

मान लें:

A = [ 1  2  3
4  5  6 ]
B = [ 7  8
9  10
11  12 ]

इनकी orders हैं:

A = 2 × 3     B = 3 × 2

पहली matrix के Columns = 3 तथा दूसरी matrix की Rows = 3। इसलिए AB defined है।

Result की order होगी:

2 × 2

अब Row × Column करते हैं:

AB = [ (1×7)+(2×9)+(3×11)    (1×8)+(2×10)+(3×12)
(4×7)+(5×9)+(6×11)    (4×8)+(5×10)+(6×12) ]

अतः:

AB = [ 58  64 ; 139  154 ]

11. Matrix Multiplication में सबसे बड़ी गलती

गलत: First Column = Second Row
सही: पहली Matrix के Columns की संख्या = दूसरी Matrix की Rows की संख्या।

उदाहरण:

(2 × 3)(3 × 4)

यहाँ बीच के numbers 3 और 3 समान हैं, इसलिए multiplication possible है।

Result की order:

2 × 4

12. क्या AB = BA हमेशा होता है?

नहीं। Matrix multiplication सामान्यतः commutative नहीं होता।

AB ≠ BA

एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि कभी-कभी AB defined होता है, लेकिन BA defined ही नहीं होता।

उदाहरण:

A = 2 × 3
B = 3 × 4

AB के लिए: A के Columns = 3 और B की Rows = 3, इसलिए AB defined है।

लेकिन BA के लिए B के Columns = 4 और A की Rows = 2 हैं। दोनों समान नहीं हैं।

इसलिए इस case में BA defined नहीं है।

13. Matrix Multiplication में Row × Column Rule

Matrix multiplication में प्रत्येक element निकालने के लिए पहली matrix की Row और दूसरी matrix के Column का dot product लिया जाता है।

उदाहरण:

[ 2  3 ] × [ 4
5 ]

तो:

(2 × 4) + (3 × 5) = 8 + 15 = 23

इसलिए multiplication को केवल numbers को आपस में multiply करना न समझें। इसकी वास्तविक प्रक्रिया Row × Column है।

14. Matrix Multiplication की महत्वपूर्ण Properties

Associative Property

(AB)C = A(BC)

Distributive Property

A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC

Commutative Property

AB ≠ BA सामान्यतः

Identity Property

AI = IA = A

Zero Matrix

AO = O

15. Transpose of a Matrix

किसी matrix की Rows को Columns तथा Columns को Rows में बदलने पर प्राप्त matrix को उसका Transpose कहते हैं।

यदि matrix A है, तो उसका transpose:

AT

उदाहरण:

A = [ 1  2  3
4  5  6 ]

तो:

AT = [ 1  4
2  5
3  6 ]
m × n matrix की transpose की order = n × m

16. Transpose की महत्वपूर्ण Properties

Property 1: (AT)T = A
Property 2: (A + B)T = AT + BT
Property 3: (A − B)T = AT − BT
बहुत महत्वपूर्ण:
(AB)T = BTAT

Product के transpose में matrices का order reverse हो जाता है।

17. Symmetric Matrix

यदि किसी square matrix A के लिए:

AT = A

तो A को Symmetric Matrix कहते हैं।

उदाहरण:

A = [ 2  3  5
3  4  6
5  6  7 ]

यहाँ:

  • a12 = a21
  • a13 = a31
  • a23 = a32

इसलिए:

AT = A

और यह symmetric matrix है।

18. Skew-Symmetric Matrix

यदि:

AT = −A

तो A को Skew-Symmetric Matrix कहते हैं।

उदाहरण:

A = [ 0  3  −5
−3  0  7
5  −7  0 ]

Skew-symmetric matrix की सबसे महत्वपूर्ण property है:

Main diagonal के सभी elements zero होते हैं।

अर्थात:

a11 = a22 = a33 = 0

19. Symmetric और Skew-Symmetric Matrix में अंतर

विशेषता Symmetric Skew-Symmetric
Condition AT = A AT = −A
Diagonal Elements कोई भी value हो सकती है सभी zero
Relationship aij = aji aij = −aji

20. Matrix को Symmetric और Skew-Symmetric Parts में लिखना

किसी square matrix A को symmetric तथा skew-symmetric matrices के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

A = ½(A + AT) + ½(A − AT)

जहाँ:

  • ½(A + AT) symmetric matrix है।
  • ½(A − AT) skew-symmetric matrix है।

इसलिए:

A = S + K

जहाँ S symmetric और K skew-symmetric matrix है।

Concept समझें: A + AT में corresponding elements समान direction में जुड़ते हैं, जबकि A − AT में opposite signs आने के कारण skew-symmetric structure प्राप्त होता है।

21. Matrix का Inverse

यदि किसी square matrix A के लिए कोई matrix A−1 ऐसी हो कि:

AA−1 = A−1A = I

तो A−1 को A का Inverse Matrix कहते हैं।

इसे संख्या के reciprocal से समझ सकते हैं। जैसे:

5 × 1/5 = 1

Matrix में number 1 की जगह Identity Matrix I काम करती है।

22. 2 × 2 Matrix का Inverse

यदि:

A = [ a  b
c  d ]

तो:

|A| = ad − bc

यदि:

ad − bc ≠ 0

तो:

A−1 = 1/(ad − bc) × [ d  −b ; −c  a ]

अर्थात:

A−1 = 1/(ad − bc) [ d  −b
−c  a ]
Important: यदि ad − bc = 0 है, तो इस 2 × 2 matrix का inverse exist नहीं करता।

23. Inverse Matrix का Solved Example

मान लें:

A = [ 2  1
3  2 ]

पहले determinant निकालें:

ad − bc = (2 × 2) − (1 × 3) = 4 − 3 = 1

चूँकि determinant zero नहीं है, इसलिए inverse exist करता है।

अब formula लगाएँ:

A−1 = [ 2  −1
−3  2 ]

Verification के लिए:

AA−1 = I

24. Matrix का Inverse कब नहीं होगा?

2 × 2 matrix:

A = [ a  b
c  d ]

का inverse तभी exist करेगा जब:

ad − bc ≠ 0

यदि:

ad − bc = 0

तो matrix का inverse exist नहीं करता।

Example

A = [ 1  2
2  4 ]
ad − bc = (1 × 4) − (2 × 2) = 0

इसलिए इसका inverse exist नहीं करता।

25. Matrix के प्रश्न हल करने की सही Strategy

परीक्षा में matrix का प्रश्न देखकर सीधे calculation शुरू करने के बजाय पहले यह पहचानें कि प्रश्न किस concept पर आधारित है।

Step 1 – Order पहचानें

सबसे पहले Rows और Columns की संख्या देखें।

Step 2 – Question का Type पहचानें

क्या प्रश्न element, equality, addition, subtraction, multiplication, transpose, symmetric, skew-symmetric या inverse से संबंधित है?

Step 3 – Condition Check करें

Addition के लिए same order देखें।

Multiplication के लिए first matrix के columns और second matrix की rows compare करें।

Step 4 – Calculation के बाद Verification करें

विशेषकर inverse और multiplication के प्रश्नों में संभव हो तो result की order और calculation को दोबारा check करें।

26. Matrix में होने वाली Common Mistakes

गलती सही Concept
a21 को Row 1, Column 2 समझना a21 = Row 2, Column 1
अलग order की matrices जोड़ना Addition के लिए same order जरूरी है
Multiplication में कोई भी matrix multiply करना First columns = Second rows
Product की order गलत लिखना (m × n)(n × p) → m × p
AB = BA मान लेना सामान्यतः AB ≠ BA
Transpose में order न बदलना m × n → n × m
Skew-symmetric में diagonal भूलना Diagonal elements हमेशा zero
Determinant zero होने पर भी inverse निकालना Inverse के लिए determinant non-zero होना चाहिए

27. Matrix को याद करने के बजाय समझने का तरीका

पूरे chapter को अलग-अलग formulas की लंबी list की तरह याद करने की आवश्यकता नहीं है। चार basic ideas को मजबूत कर लें।

1. Shape

Rows × Columns

2. Position

aij = Row i, Column j

3. Compatibility

Addition → Same Order

Multiplication → First Columns = Second Rows

4. Transformation

Transpose → Rows और Columns interchange

28. Chapter 3 Quick Revision Table

Concept याद रखने योग्य बात
Matrix Order Rows × Columns
Total Elements Rows × Columns
aij Row i, Column j
Row Matrix केवल 1 Row
Column Matrix केवल 1 Column
Square Matrix Rows = Columns
Zero Matrix सभी elements 0
Diagonal Matrix Main diagonal के बाहर सभी 0
Scalar Matrix Diagonal elements समान
Identity Matrix Diagonal 1, बाकी 0
Addition Same order जरूरी
Subtraction Same order जरूरी
Multiplication First columns = Second rows
Product Order (m × n)(n × p) → m × p
Transpose Rows ↔ Columns
Symmetric AT = A
Skew-Symmetric AT = −A
Skew-Symmetric Diagonal सभी diagonal elements 0
Inverse AA−1 = I

29. Chapter 3 Important Formula Sheet

Matrix Order: m × n
Multiplication: (m × n)(n × p) = m × p
Transpose: (AT)T = A
Addition Transpose: (A + B)T = AT + BT
Subtraction Transpose: (A − B)T = AT − BT
Product Transpose: (AB)T = BTAT
Symmetric: AT = A
Skew-Symmetric: AT = −A
Inverse: AA−1 = A−1A = I
2 × 2 Inverse: A−1 = 1/(ad − bc) [d −b; −c a]

30. परीक्षा से पहले इन 10 बातों को जरूर दोहराएँ

  1. aij में पहला index Row और दूसरा Column होता है।
  2. Matrix की order हमेशा Rows × Columns होती है।
  3. Addition के लिए दोनों matrices की order समान होनी चाहिए।
  4. Multiplication के लिए पहली matrix के Columns और दूसरी matrix की Rows समान होनी चाहिए।
  5. Product की order बाहरी dimensions से प्राप्त होती है।
  6. सामान्यतः AB ≠ BA होता है।
  7. Transpose में Rows और Columns interchange होते हैं।
  8. Symmetric matrix के लिए AT = A।
  9. Skew-symmetric matrix के लिए AT = −A और diagonal elements zero होते हैं।
  10. Inverse निकालने से पहले यह check करें कि determinant zero तो नहीं है।

31. Frequently Asked Questions (FAQs)

Rows और Columns में व्यवस्थित संख्याओं या mathematical expressions की rectangular arrangement को Matrix कहते हैं।

Matrix की order = Rows की संख्या × Columns की संख्या।

नहीं। Matrix addition के लिए दोनों matrices की order समान होनी चाहिए।

पहली matrix के Columns की संख्या दूसरी matrix की Rows की संख्या के बराबर होनी चाहिए।

नहीं। Matrix multiplication सामान्यतः commutative नहीं होता। इसलिए सामान्यतः AB ≠ BA होता है। कुछ cases में AB defined हो सकता है जबकि BA defined ही न हो।

Symmetric Matrix के लिए AT = A होना चाहिए।

Skew-Symmetric Matrix के लिए AT = −A होता है और इसके सभी diagonal elements zero होते हैं।

2 × 2 matrix के लिए determinant ad − bc zero नहीं होना चाहिए। यदि ad − bc = 0 है, तो inverse exist नहीं करता।

32. निष्कर्ष

आव्यूह (Matrices) को केवल formulas का chapter मानने की बजाय order, position, compatibility और transformation के आधार पर समझना अधिक उपयोगी है।

यदि आपको किसी matrix की structure देखकर उसकी order, elements की position और operation की condition पहचान में आने लगे, तो chapter के अधिकांश basic questions को logically solve करना आसान हो जाता है।

शुरुआत में matrix की order और elements की position को अच्छी तरह समझें। इसके बाद addition, subtraction और multiplication का अभ्यास करें। फिर transpose, symmetric/skew-symmetric matrices तथा inverse पर जाएँ।

Final Revision Tip: किसी भी formula को केवल याद करने के बजाय कम-से-कम एक numerical example के साथ समझें। इससे concept लंबे समय तक याद रहता है और examination में calculation की mistakes भी कम होती हैं।
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