Bihar Board Class 12 Maths Chapter 3 Previous Year Questions (2021

Bihar Board Class 12 Maths Chapter 3 PYQs: Matrices (आव्यूह) Solved Questions

अध्याय 3 आव्यूह (Matrices) में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए केवल पुराने प्रश्नों के उत्तर याद करना पर्याप्त नहीं है। इस chapter में कई प्रश्न अलग-अलग numbers के साथ दोबारा उसी mathematical concept को test करते हैं।

इसलिए नीचे दिए गए PYQs को केवल “प्रश्न और उत्तर” की तरह नहीं, बल्कि Concept → Method → Calculation → Common Mistake → Exam Insight के रूप में समझाया गया है।

इस page की खास बात:

यहाँ प्रत्येक selected question के बाद यह भी बताया गया है कि प्रश्न वास्तव में किस concept को test करता है और उसी concept से अलग question आ जाए तो उसे कैसे approach करना है।

इससे विद्यार्थी किसी एक answer को याद करने के बजाय पूरे question pattern को समझ सकता है।

1. इन PYQs को कैसे पढ़ें?

नीचे दिए गए प्रश्न आपके उपलब्ध PYQ material में दिए गए examples और उनसे जुड़े chapter concepts पर आधारित हैं। जहाँ केवल selected questions उपलब्ध हैं, वहाँ उन्हें पूरे Bihar Board के प्रत्येक वर्ष का complete statistical record मानना उचित नहीं होगा।

इसलिए यहाँ “हर साल निश्चित रूप से पूछा जाता है” या “100% आएगा” जैसे अनिश्चित claims के बजाय question pattern और concept importance पर focus किया गया है।

2. Chapter 3 PYQ Pattern Analysis

उपलब्ध प्रश्नों को concept के आधार पर देखने पर यह स्पष्ट होता है कि Matrices chapter में केवल calculation ही नहीं, बल्कि definitions, properties और matrix multiplication की conditions भी महत्वपूर्ण हैं।

Concept	Question में क्या पूछा जा सकता है?	Student को क्या समझना चाहिए?	Typical Mistake
Order of Matrix	Matrix की rows और columns से order निकालना	पहले rows, फिर columns count करें	Rows और columns उलट देना
Types of Matrix	Identity, square, row, column आदि की पहचान	Definition के साथ example पहचानना	Identity और diagonal matrix को एक समझना
Addition/Subtraction	दो matrices को जोड़ना या घटाना	Same order होना आवश्यक है	Different order वाली matrices को जोड़ देना
Transpose	A^T निकालना या property पूछना	Rows को columns में बदलना	Elements का order गलत लिखना
Matrix Multiplication	AB या BA निकालना	First matrix के columns = second matrix की rows	Element-by-element multiplication करना
Non-Commutativity	सिद्ध करना कि AB ≠ BA	दोनों products अलग-अलग निकालने होंगे	केवल AB निकालकर conclusion दे देना

Pattern का असली मतलब:

Matrices में examiner अक्सर केवल calculation नहीं देखता। वह यह देख सकता है कि विद्यार्थी को matrix की structure समझ में आई है या नहीं।

उदाहरण के लिए multiplication में numbers बदलने पर calculation बदल जाती है, लेकिन “पहली matrix के columns = दूसरी matrix की rows” वाली condition नहीं बदलती।

यही कारण है कि PYQ को answer के बजाय concept के आधार पर revise करना अधिक उपयोगी है।

3. PYQ: Matrix का Order

प्रश्न: आव्यूह A = [ [2, 5, 8], [4, 7, 9] ] की कोटि (Order) ज्ञात कीजिए।

Matrix में:

Rows = 2
Columns = 3

इसलिए,

Order = Number of Rows × Number of Columns

Order = 2 × 3

उत्तर: 2 × 3

Concept Insight:

इस प्रश्न में calculation लगभग नहीं है। असली test यह है कि विद्यार्थी matrix की rows और columns सही पहचानता है या नहीं।

यदि किसी matrix में 4 rows और 5 columns हों, तो उसका order 4 × 5 होगा, न कि 5 × 4।

Common Mistake:

विद्यार्थी कभी-कभी elements की कुल संख्या को order समझ लेते हैं। उदाहरण के लिए 2 × 3 matrix में कुल 6 elements हैं, लेकिन उसका order 6 नहीं बल्कि 2 × 3 है।

4. PYQ: Identity Matrix

प्रश्न: तत्समक आव्यूह (Identity Matrix) की परिभाषा लिखिए और 3 × 3 का एक उदाहरण दीजिए।

वह square matrix जिसके principal diagonal के सभी elements 1 हों और बाकी सभी elements 0 हों, identity matrix कहलाती है।

I₃ =

[ 1 0 0 ]
[ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ]

इसका order 3 × 3 है।

Concept Insight:

Identity matrix को याद करने का आसान तरीका है: main diagonal पर 1 और बाकी जगह 0.

लेकिन केवल definition याद करना पर्याप्त नहीं है। यह भी समझें कि identity matrix matrix multiplication में number 1 की तरह व्यवहार करती है:

A I = I A = A

यही connection आगे matrix algebra में बहुत उपयोगी होता है।

5. PYQ: Matrix Addition

प्रश्न: यदि A = [ [3, 5], [7, 9] ] और B = [ [2, 4], [6, 8] ] हैं, तो A + B ज्ञात कीजिए।

पहले देखें कि दोनों matrices का order समान है। दोनों का order 2 × 2 है, इसलिए addition संभव है।

A + B =

[ 3+2    5+4 ]
[ 7+6    9+8 ]

= [ 5    9 ]
  [ 13 17 ]

उत्तर: A + B = [ [5, 9], [13, 17] ]

इस प्रश्न से क्या सीखना है?

Matrix addition में corresponding elements को जोड़ा जाता है। लेकिन उससे पहले सबसे जरूरी condition है:

दोनों matrices का order समान होना चाहिए।

इसलिए addition का पहला step calculation नहीं बल्कि compatibility check होना चाहिए।

Exam Shortcut:

जब भी A + B या A − B पूछा जाए:

पहले दोनों matrices का order check करें।
फिर corresponding elements operate करें।
Final matrix का order वही रहेगा।

6. PYQ: Transpose of a Matrix

प्रश्न: यदि A = [ [2, 4, 6], [1, 3, 5] ] हो, तो A^T ज्ञात कीजिए।

Transpose में rows को columns में बदल दिया जाता है।

A =

[ 2 4 6 ]
[ 1 3 5 ]

इसलिए, A^T =

[ 2 1 ]
[ 4 3 ]
[ 6 5 ]

उत्तर: A^T का order 3 × 2 होगा।

Deep Concept:

यदि original matrix का order m × n है, तो transpose का order n × m हो जाता है।

इस उदाहरण में:

2 × 3 → 3 × 2

इसलिए transpose निकालने के बाद केवल elements ही नहीं, बल्कि matrix का order भी check करना चाहिए।

Self-check:

Transpose दो बार लेने पर original matrix वापस मिलती है:

(A^T)^T = A

अगर दो बार transpose लेने के बाद original matrix नहीं मिल रही है, तो elements arrange करने में गलती हुई है।

7. PYQ: Matrix Multiplication AB

प्रश्न: यदि A = [ [1, 2], [3, 4] ] और B = [ [2, 1], [5, 6] ] हैं, तो AB ज्ञात कीजिए।

Step 1: Multiplication की condition check करें

A का order = 2 × 2

B का order = 2 × 2

A के columns = 2 और B की rows = 2। इसलिए multiplication संभव है।

Step 2: Row × Column method

AB =

[ (1×2)+(2×5)    (1×1)+(2×6) ]
[ (3×2)+(4×5)    (3×1)+(4×6) ]

= [ 12 13 ]
  [ 26 27 ]

उत्तर: AB = [ [12, 13], [26, 27] ]

इस question की असली difficulty क्या है?

Calculation आसान हो सकती है, लेकिन matrix multiplication में विद्यार्थी अक्सर addition की तरह corresponding elements multiply कर देते हैं।

Matrix multiplication में ऐसा नहीं होता। हर answer element एक row और column के dot product से प्राप्त होता है।

Golden Rule:

A_m×n × B_n×p = C_m×p

यानी:

पहली matrix के columns = दूसरी matrix की rows

और resulting matrix का order होगा:

पहली matrix की rows × दूसरी matrix के columns

8. Concept-Based Question: क्यों AB ≠ BA?

सिद्ध कीजिए कि matrix multiplication सामान्यतः commutative नहीं है।

दिया है:

A = [ 1 2 ]
[ 0 1 ]

B = [ 2 1 ]
[ 3 4 ]

पहले AB निकालें

AB = [ (1×2)+(2×3) (1×1)+(2×4) ]
[ (0×2)+(1×3) (0×1)+(1×4) ]

AB = [ 8 9 ]
[ 3 4 ]

अब BA निकालें

BA = [ (2×1)+(1×0) (2×2)+(1×1) ]
[ (3×1)+(4×0) (3×2)+(4×1) ]

BA = [ 2 5 ]
[ 3 10 ]

अतः AB ≠ BA.

यह केवल एक numerical result नहीं है।

यह question matrix algebra की एक fundamental property दिखाता है। सामान्य arithmetic में:

2 × 3 = 3 × 2

लेकिन matrices में:

AB ≠ BA

सामान्यतः सत्य होता है।

इसलिए matrix multiplication को ordinary number multiplication की तरह interchange नहीं किया जा सकता।

Exam Trap:

अगर question में केवल AB दिया गया है, तो BA अपने आप equal नहीं मानना है।

और यदि “prove AB ≠ BA” पूछा जाए तो केवल एक product निकालना पर्याप्त नहीं है। दोनों AB और BA calculate करके comparison करना चाहिए।

9. अलग-अलग PYQs आपस में कैसे जुड़े हैं?

Matrices chapter के questions को अलग-अलग facts की तरह याद करने के बजाय उनके बीच का connection समझना ज्यादा useful है।

पहला Concept	इसके बाद कौन-सा Concept naturally आता है?	क्यों?
Order	Matrix Addition	Addition की validity order पर depend करती है।
Order	Matrix Multiplication	Multiplication की validity rows और columns पर depend करती है।
Transpose	Transpose Properties	Transpose के बाद order बदलता है और properties लागू होती हैं।
Identity Matrix	Matrix Multiplication	Identity matrix multiplication में multiplicative identity की भूमिका निभाती है।
Multiplication	AB ≠ BA	Product का order बदलने से result बदल सकता है।

Student Insight:

इस chapter में concepts isolated नहीं हैं। एक concept दूसरे concept की foundation बनता है।

उदाहरण: Order → Compatibility → Operation → Property

अगर विद्यार्थी यह sequence समझ लेता है, तो नए numbers वाला question भी solve करना आसान हो जाता है।

10. Matrices में होने वाली 10 Common Mistakes

Order लिखते समय rows और columns उलट देना।
Different order की matrices को add कर देना।
Transpose में केवल diagonal elements बदलना।
Matrix multiplication को corresponding elements multiplication समझ लेना।
Multiplication से पहले compatibility condition check न करना।
AB और BA को automatically equal मान लेना।
Row × Column की जगह Row × Row calculation करना।
Final matrix का order check न करना।
Identity matrix में diagonal के बाहर 1 लिख देना।
Formula याद रखना लेकिन formula कब लागू करना है यह न समझना।

सबसे महत्वपूर्ण बात:

Matrices में calculation की गलती से ज्यादा common structure की गलती होती है।

इसलिए हर question में पहले यह पूछें:

Matrix का order क्या है?
Operation allowed है या नहीं?
कौन-सा rule लागू होगा?
Final answer का order क्या होना चाहिए?

11. किसी भी Matrix Question को Solve करने की 4-Step Strategy

Step 1 – Structure देखें

Rows, columns और order identify करें।

Step 2 – Operation की condition देखें

Addition, subtraction या multiplication में कौन-सी condition आवश्यक है, पहले check करें।

Step 3 – सही method लगाएँ

Addition/Subtraction में corresponding elements और multiplication में row × column method अपनाएँ।

Step 4 – Final answer verify करें

Calculation के साथ final matrix का order और required property भी check करें।

12. Quick Revision: Important Matrix Rules

Concept	Rule	याद रखने की बात
Order	m × n	Rows × Columns
Addition	A + B	Same order आवश्यक
Multiplication	A_m×nB_n×p	First columns = Second rows
Result of Multiplication	C_m×p	Outer dimensions remain
Transpose	(A^T)^T = A	Rows ↔ Columns
Product Transpose	(AB)^T = B^TA^T	Order reverse होता है
Symmetric Matrix	A^T = A	Transpose वही matrix
Skew-Symmetric Matrix	A^T = −A	Diagonal elements 0 होते हैं
Identity Matrix	AI = IA = A	Multiplication identity
Commutative Property	AB ≠ BA generally	Order बदलने से result बदल सकता है

13. PYQ Revision का बेहतर तरीका

सिर्फ प्रश्न देखकर answer याद करने से अगले साल numbers बदलने पर problem हो सकती है। इसके बजाय प्रत्येक PYQ को इस format में revise करें:

Question: क्या पूछा गया?

Concept: कौन-सा rule लगा?

Condition: कोई restriction थी?

Method: कौन-सा calculation method इस्तेमाल हुआ?

Check: answer का order/property सही है?

Variation: numbers बदल जाएँ तो क्या method बदलेगा?

उदाहरण के लिए यदि आज 2 × 3 matrix का transpose पूछा गया है, तो केवल उसका answer याद न करें। यह याद रखें कि किसी भी m × n matrix का transpose n × m होता है।

इस तरह एक PYQ से कई नए questions solve किए जा सकते हैं।

14. PYQ Concepts पर आधारित Self-Practice Questions

Practice 1

यदि किसी matrix में 4 rows और 3 columns हैं, तो उसका order क्या होगा?

उत्तर: 4 × 3

Practice 2

क्या 2 × 3 और 3 × 2 matrices को सीधे add किया जा सकता है?

उत्तर: नहीं, क्योंकि दोनों का order समान नहीं है।

Practice 3

यदि A का order 2 × 3 और B का order 3 × 4 है, तो AB का order क्या होगा?

उत्तर: 2 × 4

Practice 4

यदि A का order 2 × 3 है, तो A^T का order क्या होगा?

उत्तर: 3 × 2

Practice 5

क्या किसी दो matrices A और B के लिए हमेशा AB = BA होगा?

उत्तर: नहीं, सामान्यतः AB ≠ BA होता है।

15. Bihar Board Exam के लिए क्या याद रखें?

Matrix का order = rows × columns
Addition और subtraction के लिए same order जरूरी है।
Multiplication में पहली matrix के columns = दूसरी matrix की rows होना चाहिए।
Multiplication का result outer dimensions से तय होता है।
Transpose में rows और columns interchange होते हैं।
(AB)^T = B^TA^T में order reverse होता है।
Identity matrix में principal diagonal पर 1 और बाकी जगह 0 होते हैं।
AB ≠ BA को सामान्य rule मानकर चलें।
Numerical solve करने से पहले हमेशा condition check करें।

16. याद करने और समझने में अंतर

केवल याद करना	Concept समझना
2 × 3 matrix का transpose 3 × 2 है।	किसी भी m × n matrix का transpose n × m होगा।
AB = एक particular numerical answer।	AB row × column multiplication से बनता है।
AB ≠ BA एक statement है।	Matrix multiplication generally commutative नहीं है।
Identity matrix का एक example याद है।	Identity matrix multiplication में A को unchanged रखती है।
A + B का answer याद है।	पहले same-order condition check करनी है।

यही PYQ preparation का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है:

अगर numbers बदलने पर भी आपका तरीका नहीं बदलता, तो आपने concept समझा है। अगर numbers बदलते ही answer याद नहीं आता, तो आपने केवल PYQ याद किया है।

17. Chapter 3 PYQs से निकलने वाला Overall Analysis

Matrices chapter के selected questions को साथ में देखने पर एक महत्वपूर्ण pattern दिखाई देता है: examiner अलग-अलग questions के माध्यम से matrix की structure, compatibility और algebraic behaviour को test कर सकता है।

Order का concept addition और multiplication की conditions समझने में मदद करता है। Transpose केवल rows और columns बदलने की operation नहीं है, बल्कि इससे matrix का order और आगे की properties भी जुड़ती हैं। Multiplication में केवल arithmetic नहीं, बल्कि row-column relationship समझना आवश्यक है।

इसी तरह AB और BA का difference विद्यार्थियों को यह समझाता है कि matrices ordinary numbers की तरह behave नहीं करतीं।

इसलिए Chapter 3 की effective preparation का बेहतर तरीका है:

Structure → Condition → Operation → Property → Verification

यदि विद्यार्थी हर PYQ को इस sequence में समझता है, तो वह केवल पुराने questions के answers याद नहीं करता बल्कि उसी concept से बनाए गए नए questions को भी solve करने की क्षमता विकसित करता है।

18. One-Minute Final Revision

Order: Rows × Columns

Addition: Same order required

Multiplication: First columns = Second rows

Product Order: Outer dimensions

Transpose: Rows ↔ Columns

Identity: Diagonal 1, बाकी 0

Symmetric: A^T = A

Skew-Symmetric: A^T = −A

Important: AB ≠ BA generally

Final Takeaway

Chapter 3 के PYQs को केवल previous questions की list की तरह पढ़ना effective preparation नहीं है।

हर question के पीछे एक concept है। यदि आप question का concept, condition, solving method और common mistake समझ लेते हैं, तो numbers बदलने के बाद भी question solve किया जा सकता है।

इस chapter में विशेष रूप से Order, Matrix Types, Addition, Transpose, Multiplication और AB ≠ BA के बीच का relationship समझना महत्वपूर्ण है।

PYQ का उद्देश्य केवल पुराने प्रश्न का answer याद कराना नहीं, बल्कि अगले नए question को solve करने की क्षमता विकसित करना है।