Bihar Board Class 12 Maths Chapter 2 Important Questions 2027

Bihar Board Class 12 Maths Chapter 2 Important Questions 2027 | संबंध एवं फलन (Relations and Functions) – Concept Based Practice

संबंध एवं फलन (Relations and Functions) को केवल formulas और definitions याद करके तैयार करना आसान नहीं होता। इस अध्याय में कई concepts एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं—जैसे Relation, Function, Domain, Codomain, Range, One-One, Onto, Composite Function और Inverse Function।

इसलिए इस practice guide को केवल प्रश्नों की सूची के रूप में नहीं बनाया गया है। यहाँ प्रत्येक महत्वपूर्ण concept के साथ यह भी समझाया गया है कि उसे पहचानें कैसे, विद्यार्थी सामान्यतः कहाँ गलती करते हैं और किसी नए प्रश्न पर वही concept कैसे लागू किया जाए।

कक्षा: 12वीं

विषय: गणित

अध्याय: संबंध एवं फलन (Relations and Functions)

परीक्षा: बिहार बोर्ड इंटरमीडिएट

प्रकार: Concept Based Questions + MCQs + Assertion-Reason + Case Study + Written Practice

इस Practice Guide को कैसे तैयार किया गया है?

इस page पर दिए गए practice questions को केवल संख्या बढ़ाने के लिए नहीं रखा गया है। प्रश्नों को अलग-अलग learning levels में बाँटा गया है ताकि विद्यार्थी यह पहचान सके कि उसे केवल definition याद है या वह concept को नए उदाहरण पर भी लागू कर सकता है।

महत्वपूर्ण: जिन प्रश्नों को वास्तविक Previous Year Question के रूप में प्रमाणित नहीं किया गया है, उन्हें यहाँ “PYQ” कहकर प्रस्तुत नहीं किया गया है। ऐसे प्रश्नों को Board-Style Practice Question के रूप में दिया गया है। इससे विद्यार्थी को वास्तविक प्रश्नपत्र और practice material के बीच अंतर स्पष्ट रहता है।

Chapter Concept Map: पूरा अध्याय एक नजर में

इस अध्याय को एक सीधी श्रृंखला की तरह समझना आसान है। पहले यह समझें कि दो sets के elements के बीच संबंध कैसे बनाया जाता है। इसके बाद देखें कि कौन-सा relation function बन सकता है। फिर function के domain, codomain और range को पहचानें। अंत में functions के प्रकार, composition और inverse पर जाएँ।

Sets

↓

Ordered Pair

↓

Cartesian Product

↓

Relation

↓

Function

↓

Domain → Codomain → Range

↓

One-One / Many-One / Into / Onto

↓

Composite Function

↓

Inverse Function

सबसे महत्वपूर्ण समझ

इस अध्याय में सबसे पहले यह पूछें: “Input से Output तक mapping कैसे हो रही है?”

यदि यह mapping स्पष्ट हो गई, तो Domain, Range, One-One, Onto, Composite और Inverse जैसे concepts काफी आसानी से समझ आने लगते हैं।

1. Relation का मूल विचार

यदि दो sets A और B दिए गए हैं, तो A और B के elements के बीच ordered pairs बनाकर उनके बीच संबंध व्यक्त किया जा सकता है।

गणितीय रूप से A से B का relation, Cartesian product A × B का कोई subset होता है।

Relation R from A to B:
R ⊆ A × B

उदाहरण

मान लें:

A = {1, 2, 3}
B = {4, 5}

तब A × B में संभावित ordered pairs होंगे:

{(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}

इन ordered pairs में से किसी भी subset को A से B का relation बनाया जा सकता है।

Common Mistake

विद्यार्थी कई बार सोचते हैं कि relation में हर input का केवल एक output होना चाहिए। यह शर्त Function के लिए आवश्यक है, हर Relation के लिए नहीं।

2. Relation और Function में वास्तविक अंतर

Function को Relation का विशेष रूप समझना सबसे आसान तरीका है। किसी relation को function बनने के लिए प्रत्येक input के लिए ठीक एक output होना चाहिए।

Relation	Function
यह A × B का कोई subset हो सकता है।	यह Relation का विशेष प्रकार है।
एक input की एक से अधिक images हो सकती हैं।	एक input की केवल एक image हो सकती है।
हर relation function नहीं होता।	हर function relation होता है।

Function पहचानने की सबसे आसान विधि

Ordered pairs में पहले elements को देखें। यदि किसी एक input के साथ दो अलग-अलग outputs जुड़े हैं, तो वह relation function नहीं है।

R = {(1,2), (2,3), (3,4)}

यहाँ 1, 2 और 3 प्रत्येक केवल एक output से जुड़े हैं। इसलिए यह function हो सकता है।

लेकिन:

R = {(1,2), (1,4), (2,5)}

यहाँ input 1 की दो images 2 और 4 हैं। इसलिए यह function नहीं है।

3. Domain, Codomain और Range

Function को समझते समय तीन शब्दों को अलग-अलग रखना बहुत जरूरी है। विद्यार्थियों की सबसे सामान्य गलती Domain और Range को एक ही समझना है।

Concept	सरल अर्थ	क्या याद रखें?
Domain	Inputs का set	Function कहाँ से input लेता है?
Codomain	Possible outputs का निर्धारित set	Output किस set में होना है?
Range	वास्तव में प्राप्त outputs	कौन-कौन से outputs वास्तव में आए?

एक सरल उदाहरण

मान लें:

A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c, d}

और function:

f(1) = a
f(2) = b
f(3) = b

तब:

Domain: {1,2,3}
Codomain: {a,b,c,d}
Range: {a,b}

यहाँ c और d Codomain में मौजूद हैं लेकिन किसी input से प्राप्त नहीं हुए। इसलिए वे Range का हिस्सा नहीं हैं।

4. Functions के प्रकार

4.1 One-One Function

यदि अलग-अलग inputs की images भी अलग-अलग हों, तो function One-One कहलाता है।

यदि a ≠ b, तो f(a) ≠ f(b)

इसका मतलब है कि दो अलग inputs एक ही output पर नहीं पहुँचते।

4.2 Many-One Function

यदि दो या अधिक अलग inputs की image एक ही output हो सकती है, तो function Many-One कहलाता है।

उदाहरण:

f(1)=5, f(2)=5

यहाँ 1 और 2 दोनों का output 5 है।

4.3 Onto Function

यदि codomain का प्रत्येक element कम-से-कम एक input की image हो, तो function Onto कहलाता है।

Onto ⇒ Range = Codomain

4.4 Into Function

यदि codomain के कुछ elements किसी input की image नहीं हैं, तो function Into कहलाता है।

4.5 Bijective Function

जो function One-One और Onto दोनों हो, उसे Bijective Function कहते हैं।

Bijective = One-One + Onto

Fast Identification Trick

पहले पूछें: “क्या दो inputs का output समान है?”

हाँ → One-One नहीं।

फिर पूछें: “क्या codomain का हर element उपयोग हुआ?”

हाँ → Onto।

दोनों हाँ → Bijective।

5. Composite Function

दो functions को क्रम से लागू करने पर composite function प्राप्त होता है।

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

सबसे जरूरी बात

(g ∘ f)(x) में पहले f लागू होगा और उसके बाद g।

मान लें:

f(x)=x+2
g(x)=3x

तब:

f(2)=4

और:

g(4)=12

अतः:

(g ∘ f)(2)=12

Common Trap

(g ∘ f)(x) और (f ∘ g)(x) सामान्यतः समान नहीं होते।

इसलिए composition में केवल functions के नाम देखकर उत्तर न निकालें। पहले लिखें कि कौन-सा function पहले लागू होगा।

6. Inverse Function

किसी function का inverse input और output के संबंध को उलटकर मूल mapping को वापस प्राप्त करता है। किसी function का inverse function होने के लिए आवश्यक शर्तों को समझना महत्वपूर्ण है।

सामान्यतः bijective function का inverse function अस्तित्व में होता है।

Inverse निकालने की सामान्य विधि

f(x) को y के बराबर लिखें।
x और y के संबंध को बदलकर x को y के रूप में लिखें।
प्राप्त expression को f^-1(x) के रूप में लिखें।

दिया है:

f(x)=2x+5

मान लें:

y=2x+5

तब:

y-5=2x

x=(y-5)/2

इसलिए:

f^-1(x)=(x-5)/2

ध्यान दें

f^-1(x) का अर्थ सामान्यतः 1/f(x) नहीं होता। Inverse Function और reciprocal अलग concepts हैं।

7. Identity Function

Identity Function में प्रत्येक input स्वयं पर map होता है।

I(x)=x

उदाहरण:

I(2)=2, I(5)=5, I(-3)=-3

Identity Function One-One और Onto दोनों होता है, इसलिए यह Bijective भी होता है।

8. Equivalence Relation

किसी relation को Equivalence Relation कहलाने के लिए तीन properties आवश्यक हैं।

Reflexive
Symmetric
Transitive

Equivalence Relation = Reflexive + Symmetric + Transitive

तीनों properties को कैसे पहचानें?

Reflexive: प्रत्येक a के लिए (a,a) relation में होना चाहिए।

Symmetric: यदि (a,b) relation में है, तो (b,a) भी होना चाहिए।

Transitive: यदि (a,b) और (b,c) relation में हैं, तो (a,c) भी होना चाहिए।

किसी relation को Equivalence बताने से पहले तीन boxes check करें:

☑ Reflexive
☑ Symmetric
☑ Transitive

तीनों में से कोई एक भी missing है तो relation Equivalence Relation नहीं होगा।

9. इस अध्याय की 12 सबसे सामान्य गलतियाँ

Relation को Function समझ लेना: हर relation function नहीं होता।
Domain और Range को समान समझना: Domain inputs हैं, Range actual outputs हैं।
Range और Codomain को हमेशा समान मानना: यह केवल Onto Function में आवश्यक है।
One-One को Onto समझना: दोनों अलग properties हैं।
Many-One को Function न मानना: कई inputs का एक output होना function के लिए संभव है।
Composite में order भूल जाना: (g ∘ f)(x) में पहले f लगता है।
f^-1 को reciprocal समझना: Inverse Function अलग concept है।
x² के inverse को बिना domain restriction के लिख देना: x² पूरे real numbers पर One-One नहीं है।
Equivalence Relation में केवल Reflexive और Symmetric check करना: Transitive भी आवश्यक है।
Ordered Pair में order को ignore करना: (a,b) और (b,a) सामान्यतः अलग ordered pairs हैं।
Formula देखकर answer चुन लेना: पहले mapping या domain की condition समझें।
PYQ और practice question को एक ही समझना: वास्तविक previous-year question के साथ year/source होना चाहिए।

10. 60 Concept-Based MCQs

इन questions का उद्देश्य केवल सही option याद करवाना नहीं है। प्रत्येक explanation में उस concept को पहचानने का छोटा तरीका दिया गया है।

Question 1. Relation की गणितीय परिभाषा किससे संबंधित है?

A. A + B
B. A × B का कोई subset
C. A − B
D. A ÷ B

उत्तर: B

Explanation: A से B का relation Cartesian product A × B का कोई subset होता है।

Concept Check: Relation को पहचानने के लिए पहले Cartesian Product याद रखें।

Question 2. यदि n(A)=4 और n(B)=5 है, तो n(A×B) कितना होगा?

A. 9
B. 10
C. 20
D. 25

उत्तर: C

Solution: n(A×B)=n(A)×n(B)=4×5=20.

Question 3. Ordered Pair में कौन-सी बात महत्वपूर्ण है?

A. रंग
B. क्रम
C. आकार
D. केवल पहला element

उत्तर: B

(2,5) और (5,2) सामान्यतः अलग ordered pairs हैं।

Question 4. निम्न में से कौन-सा statement सही है?

A. हर Relation Function होता है।
B. हर Function Relation होता है।
C. Relation और Function हमेशा समान होते हैं।
D. कोई Function Relation नहीं होता।

उत्तर: B

Function Relation का विशेष प्रकार है।

Question 5. Function का input set क्या कहलाता है?

A. Range
B. Domain
C. Codomain
D. Image

उत्तर: B

Question 6. Actual outputs का set क्या कहलाता है?

A. Domain
B. Codomain
C. Range
D. Product

उत्तर: C

Codomain में possible outputs का पूरा निर्धारित set हो सकता है, जबकि Range में वास्तव में प्राप्त outputs होते हैं।

Question 7. यदि Range = Codomain हो तो Function क्या कहलाता है?

A. Into
B. Onto
C. Many-One
D. Identity

उत्तर: B

Question 8. One-One और Onto दोनों होने पर Function कहलाता है:

A. Many-One
B. Into
C. Bijective
D. Constant

उत्तर: C

Question 9. Identity Function का सामान्य रूप क्या है?

A. f(x)=x
B. f(x)=x²
C. f(x)=x+1
D. f(x)=2x

उत्तर: A

Question 10. यदि f(2)=5 और f(3)=5 है, तो f One-One होगा?

A. हाँ
B. नहीं
C. केवल Onto होने पर
D. हमेशा

उत्तर: B

दो अलग inputs 2 और 3 की image समान 5 है। इसलिए Function One-One नहीं है।

Question 11. A={1,2}, B={a,b,c} हो तो A×B में कितने ordered pairs होंगे?

A. 3
B. 5
C. 6
D. 9

उत्तर: C

2×3=6.

Question 12. निम्न में से कौन Function नहीं है?

A. {(1,2),(2,3),(3,4)}
B. {(1,5),(2,5),(3,5)}
C. {(1,2),(1,4),(2,5)}
D. {(4,8),(5,9)}

उत्तर: C

Input 1 की दो अलग images 2 और 4 हैं।

Question 13. Reflexive Relation में प्रत्येक element के बारे में क्या आवश्यक है?

A. (a,b)
B. (b,a)
C. (a,a)
D. (a,c)

उत्तर: C

Question 14. यदि (a,b) ∈ R होने पर (b,a) ∈ R भी हो, तो relation है:

A. Reflexive
B. Symmetric
C. Transitive
D. Empty

उत्तर: B

Question 15. यदि (a,b) और (b,c) relation में हैं तथा (a,c) भी है, तो यह property है:

A. Reflexive
B. Symmetric
C. Transitive
D. Identity

उत्तर: C

Question 16. Equivalence Relation के लिए कौन-सी तीन properties आवश्यक हैं?

A. Reflexive और Symmetric
B. Symmetric और Transitive
C. Reflexive, Symmetric और Transitive
D. केवल Transitive

उत्तर: C

Question 17. यदि f(x)=3x+2 है, तो f(5) क्या होगा?

A. 15
B. 17
C. 13
D. 10

उत्तर: B

f(5)=3(5)+2=17.

Question 18. अलग-अलग inputs का एक ही output होना किसका संकेत है?

A. One-One
B. Many-One
C. Identity
D. Bijective

उत्तर: B

Question 19. Bijective Function की दो properties कौन-सी हैं?

A. Into और Many-One
B. One-One और Onto
C. Reflexive और Symmetric
D. Identity और Constant

उत्तर: B

Question 20. f(x)=x+4 तथा g(x)=2x हो तो (g∘f)(2) कितना होगा?

A. 8
B. 10
C. 12
D. 16

उत्तर: C

पहले f(2)=6, फिर g(6)=12.

Question 21. Identity Function में output किसके बराबर होता है?

A. Input
B. Codomain
C. केवल Range
D. कोई नहीं

उत्तर: A

Question 22. Onto Function में कौन-सा संबंध सही है?

A. Domain = Range
B. Range = Codomain
C. Domain = Codomain हमेशा
D. Range खाली है

उत्तर: B

Question 23. Inverse Function को किस notation से लिखा जाता है?

A. f'
B. f^-1
C. f²
D. 1/f हमेशा

उत्तर: B

Question 24. (g∘f)(x) का सही रूप है:

A. f(g(x))
B. g(f(x))
C. f(x)+g(x)
D. f(x)g(x)

उत्तर: B

Question 25. Reflexive + Symmetric + Transitive relation कहलाता है:

A. Empty
B. Universal
C. Equivalence
D. Constant

उत्तर: C

Question 26. यदि R={(1,1),(2,2),(3,3)} है, तो यह relation है:

A. Identity Relation
B. Empty Relation
C. Universal Relation
D. Into Function

उत्तर: A

सभी ordered pairs (a,a) के रूप में हैं।

Question 27. यदि R={(1,2),(2,1),(3,3)} है, तो कौन-सी property स्पष्ट रूप से दिखाई देती है?

A. Symmetric
B. केवल Transitive
C. केवल Into
D. Function नहीं

उत्तर: A

Question 28. यदि Range, Codomain से छोटा है, तो function किस प्रकार का हो सकता है?

A. Onto
B. Into
C. Bijective
D. Identity

उत्तर: B

Question 29. f(x)=5x-3 हो तो f(4) क्या होगा?

A. 15
B. 17
C. 20
D. 23

उत्तर: B

Question 30. Composite Function में पहले कौन-सा function लागू होता है?

A. बाहर वाला
B. अंदर वाला
C. दोनों एक साथ
D. कोई नहीं

उत्तर: B

Question 31. f(x)=2x+5 हो तो f(3) क्या होगा?

A. 6
B. 10
C. 11
D. 12

उत्तर: C

Question 32. f(x)=x² पूरे real numbers पर One-One है?

A. हाँ
B. नहीं
C. केवल positive numbers पर भी नहीं
D. हमेशा Bijective

उत्तर: B

क्योंकि f(2)=4 और f(-2)=4, इसलिए अलग inputs की समान image है।

Question 33. f(x)=x² को केवल x≥0 पर consider करने पर One-One property प्राप्त हो सकती है?

A. हाँ
B. नहीं
C. केवल x<0 पर
D. कभी नहीं

उत्तर: A

Non-negative domain पर x² बढ़ता है, इसलिए समान output के लिए दो अलग non-negative inputs नहीं मिलते।

Question 34. यदि A में 3 और B में 2 elements हैं, तो A से B में One-One Function संभव है?

A. हाँ
B. नहीं
C. केवल Onto होने पर
D. केवल Identity होने पर

उत्तर: B

तीन अलग inputs को केवल दो outputs में सभी को अलग-अलग map नहीं किया जा सकता।

Question 35. A में 2 और B में 4 elements हैं। A से B में कुल functions की संख्या कितनी होगी?

A. 6
B. 8
C. 16
D. 32

उत्तर: C

कुल functions = n(B)^n(A) = 4² = 16.

Question 36. f(x)=4x-7 हो तो f(3) कितना है?

A. 3
B. 5
C. 7
D. 12

उत्तर: B

Question 37. f(x)=x+1 और g(x)=x² हो तो (g∘f)(3) कितना होगा?

A. 9
B. 12
C. 16
D. 25

उत्तर: C

पहले f(3)=4, फिर g(4)=16.

Question 38. g(x)=2x-1 और f(x)=x² हो तो (f∘g)(2) कितना होगा?

A. 4
B. 9
C. 16
D. 25

उत्तर: B

पहले g(2)=3, फिर f(3)=9.

Question 39. f(x)=2x+5 का inverse क्या है?

A. (x+5)/2
B. (x-5)/2
C. 2x-5
D. x/2+5

उत्तर: B

y=2x+5 ⇒ x=(y-5)/2.

Question 40. f(x)=x-6 का inverse क्या होगा?

A. x-6
B. x+6
C. 6-x
D. x/6

उत्तर: B

Question 41. किसी Function का inverse function होने के लिए सबसे उपयोगी पहचान क्या है?

A. Function constant हो
B. Function bijective हो
C. Function केवल many-one हो
D. Function empty हो

उत्तर: B

Question 42. f(x)=x पूरे real numbers पर किस प्रकार का function है?

A. Identity और Bijective
B. Many-One
C. Into ही हमेशा
D. Constant

उत्तर: A

Question 43. यदि Range = {a,b} और Codomain = {a,b,c}, तो function Onto होगा?

A. हाँ
B. नहीं
C. हमेशा
D. केवल One-One होने पर

उत्तर: B

c codomain में है लेकिन range में नहीं है।

Question 44. यदि f(a)=f(b) और f One-One है, तो:

A. a≠b
B. a=b
C. a और b undefined
D. कोई निष्कर्ष नहीं

उत्तर: B

One-One function में समान outputs के corresponding inputs समान होने चाहिए।

Question 45. यदि f(a)=f(b) होने पर a=b निकलता है, तो function किस property को satisfy करता है?

A. One-One
B. Onto
C. Into
D. Constant

उत्तर: A

Question 46. यदि codomain का प्रत्येक element कम-से-कम एक input की image है, तो function:

A. Into
B. Onto
C. Constant
D. Empty

उत्तर: B

Question 47. Identity Function में f(f(x)) क्या होगा?

A. x
B. 2x
C. x²
D. 1

उत्तर: A

Question 48. यदि f और g दोनों defined हैं, तो क्या सामान्यतः g∘f = f∘g होता है?

A. हमेशा
B. सामान्यतः नहीं
C. कभी भी नहीं
D. केवल constant functions के लिए

उत्तर: B

Composition सामान्यतः commutative नहीं होता।

Question 49. यदि R reflexive है, तो प्रत्येक a के लिए क्या होना चाहिए?

A. (a,b) ∈ R
B. (b,a) ∈ R
C. (a,a) ∈ R
D. (a,c) ∈ R

उत्तर: C

Question 50. यदि R symmetric है और (a,b) ∈ R है, तो:

A. (a,a) आवश्यक है
B. (b,a) ∈ R
C. (b,b) आवश्यक है
D. (a,c) आवश्यक है

उत्तर: B

Question 51. यदि R transitive है और (a,b), (b,c) ∈ R हैं, तो:

A. (c,a) आवश्यक है
B. (a,c) ∈ R
C. (b,a) आवश्यक है
D. कोई relation नहीं

उत्तर: B

Question 52. यदि कोई relation reflexive और symmetric है लेकिन transitive नहीं है, तो वह:

A. Equivalence Relation है
B. Equivalence Relation नहीं है
C. हमेशा Identity है
D. हमेशा Universal है

उत्तर: B

Question 53. A={1,2,3}, B={a,b} हो तो A से B में One-One function की संख्या क्या है?

A. 0
B. 2
C. 4
D. 6

उत्तर: A

तीन अलग inputs के लिए केवल दो अलग outputs उपलब्ध हैं।

Question 54. A में 2 और B में 3 elements हैं। A से B में One-One functions कितने होंगे?

A. 3
B. 6
C. 9
D. 12

उत्तर: B

पहले input के लिए 3 choices और दूसरे के लिए बची 2 choices: 3×2=6.

Question 55. A और B दोनों में 3 elements हैं और function One-One तथा Onto दोनों है। वह:

A. Into है
B. Many-One है
C. Bijective है
D. Constant है

उत्तर: C

Question 56. यदि f bijective है, तो f^-1:

A. अस्तित्व में नहीं रखता
B. अस्तित्व में रखता है
C. केवल constant होता है
D. केवल identity होता है

उत्तर: B

Question 57. यदि (g∘f)(x)=g(f(x)) है, तो input सबसे पहले किस function से गुजरता है?

A. g
B. f
C. दोनों
D. किसी से नहीं

उत्तर: B

Question 58. f(x)=x+5 का inverse क्या होगा?

A. x+5
B. x-5
C. 5-x
D. x/5

उत्तर: B

Question 59. यदि f(x)=3x-4 है, तो f(5) क्या होगा?

A. 9
B. 11
C. 15
D. 19

उत्तर: B

Question 60. निम्न में से कौन-सा statement सबसे सही है?

A. हर Onto Function One-One होता है।
B. हर One-One Function Onto होता है।
C. One-One और Onto अलग properties हैं।
D. दोनों शब्द हमेशा समान अर्थ रखते हैं।

उत्तर: C

One-One input-output uniqueness से संबंधित है, जबकि Onto codomain के coverage से संबंधित है।

11. 15 Assertion-Reason Questions

प्रत्येक प्रश्न में पहले Assertion को अलग से जाँचें और फिर Reason को। केवल इसलिए A न चुनें कि दोनों statements सही दिखाई दे रहे हैं। यह भी देखें कि Reason वास्तव में Assertion की explanation देता है या नहीं।

Question 1

Assertion: प्रत्येक Function एक Relation होता है।

Reason: Function, Relation का विशेष प्रकार है।

उत्तर: A

Question 2

Assertion: प्रत्येक Relation Function होता है।

12. 10 Concept-Based Case Studies

इन case studies का उद्देश्य केवल वास्तविक जीवन के शब्दों को mathematics से जोड़ना नहीं है। हर case में पहले mapping identify करनी है और फिर यह देखना है कि दिए गए facts से कौन-सी mathematical property वास्तव में साबित होती है।

Case Study 1: Student और Roll Number

किसी class में प्रत्येक विद्यार्थी को एक unique roll number दिया गया है। किसी दो विद्यार्थियों का roll number समान नहीं है।

यदि Student → Roll Number mapping को function माना जाए, तो कौन-सी property दिखाई देती है?

Many-One
One-One
Constant
Empty

उत्तर: B — One-One

क्योंकि अलग विद्यार्थियों को अलग roll numbers मिले हैं।

Case Study 2: Students और Marks

एक परीक्षा में दो अलग विद्यार्थियों के marks समान हो सकते हैं। Student → Marks mapping को देखें।

उत्तर: Many-One संभव है।

अलग students की same marks value हो सकती है। इसलिए One-One होना आवश्यक नहीं है।

Case Study 3: Product और Price

किसी दुकान में एक समय पर प्रत्येक product के लिए एक listed price है। Product → Price mapping को किस रूप में देखा जा सकता है?

उत्तर: यह एक function हो सकता है क्योंकि प्रत्येक input product के लिए एक price निर्धारित है। लेकिन केवल इस information से यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता कि function One-One है।

Learning Point: Function होने और One-One होने में अंतर है।

Case Study 4: Employee और Department

किसी organisation में कई employees एक ही department में काम कर सकते हैं। Employee → Department mapping पर कौन-सी property संभव है?

उत्तर: Many-One संभव है।

कई अलग employees एक ही department को map हो सकते हैं।

Case Study 5: Number और उसका Square

Function f(x)=x² को पूरे real numbers पर consider करें।

क्या यह One-One है?

उत्तर: नहीं।

क्योंकि f(2)=4 और f(-2)=4. अलग inputs की same image है।

Case Study 6: Identity Mapping

किसी set में प्रत्येक element को उसी element से map किया जाता है।

उत्तर: Identity Function.

इसका सामान्य रूप I(x)=x है।

Case Study 7: Two-Step Calculation

पहले किसी input पर f लागू किया जाता है और प्राप्त result पर g लागू किया जाता है।

यह किस mathematical concept को दर्शाता है?

उत्तर: Composite Function.

इसका रूप (g∘f)(x)=g(f(x)) होगा।

Case Study 8: Reversible Mapping

एक mapping में प्रत्येक output exactly एक input से जुड़ा है और codomain का प्रत्येक element प्राप्त हो रहा है।

उत्तर: Bijective Function.

One-One + Onto होने के कारण inverse mapping प्राप्त की जा सकती है।

Case Study 9: Codomain में unused element

किसी function का codomain {a,b,c,d} है लेकिन actual outputs केवल {a,b} हैं।

c और d का क्या महत्व है?

उत्तर: c और d Codomain का हिस्सा हैं लेकिन Range का हिस्सा नहीं हैं। इसलिए यह function Onto नहीं है।

Case Study 10: Equivalence Test

किसी relation के लिए जाँच करने पर पाया गया कि वह Reflexive, Symmetric और Transitive तीनों properties satisfy करता है।

उत्तर: यह Equivalence Relation है।

यही तीनों properties इसकी defining conditions हैं।

13. 15 Written Practice Questions

इन questions को बिना answer देखे notebook में हल करें। यहाँ उद्देश्य केवल final answer नहीं बल्कि solution की reasoning लिखना है।

अति लघु उत्तरीय

Relation की परिभाषा लिखिए।
Function को Relation का विशेष रूप क्यों कहा जाता है?
Domain और Range में अंतर लिखिए।
Codomain और Range में अंतर बताइए।
One-One Function की परिभाषा लिखिए।

लघु उत्तरीय

उदाहरण सहित समझाइए कि प्रत्येक Function Relation होता है लेकिन प्रत्येक Relation Function नहीं होता।
One-One और Many-One Function में अंतर उदाहरण सहित लिखिए।
Into और Onto Function में अंतर समझाइए।
Composite Function क्या है? उदाहरण सहित समझाइए।
Inverse Function निकालने की सामान्य प्रक्रिया लिखिए।

दीर्घ उत्तरीय / Analytical Practice

Domain, Codomain और Range को एक mapping example की सहायता से समझाइए।
समझाइए कि f(x)=x² पूरे real numbers पर One-One क्यों नहीं है।
Equivalence Relation की तीन आवश्यक properties को उदाहरण सहित समझाइए।
समझाइए कि Bijective Function का inverse क्यों प्राप्त किया जा सकता है।
(g∘f)(x) और (f∘g)(x) में अंतर उदाहरण सहित स्पष्ट कीजिए।

14. Questions जो केवल रटने से हल नहीं होंगे

ये questions जानबूझकर इस तरह बनाए गए हैं कि विद्यार्थी को definition को नए situation में apply करना पड़े।

Problem 1

यदि A={1,2,3} और B={a,b,c} हैं, तो क्या ऐसा Function बनाया जा सकता है जो One-One हो लेकिन Onto न हो? कारण सहित उत्तर दें।

Hint: जब domain और codomain दोनों में elements की संख्या समान हो, तो One-One mapping के परिणाम पर विचार करें।

Problem 2

f(x)=x² को किस प्रकार के domain पर restrict करने पर inverse function बनाया जा सकता है?

Hint: ऐसा domain चुनें जहाँ समान output देने वाले दो अलग inputs न हों।

Problem 3

यदि f और g दोनों functions हैं, तो क्या हमेशा (g∘f)=(f∘g) होगा? एक counterexample देकर समझाइए।

Problem 4

किसी function का Range छोटा है लेकिन Codomain बड़ा है। इससे One-One या Onto में से किस property के बारे में निश्चित निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

Problem 5

क्या कोई function Many-One और Onto दोनों हो सकता है? अपने उदाहरण के साथ समझाइए।

15. Error Analysis: अगर आपका Answer गलत हुआ तो कारण क्या हो सकता है?

गलती	संभावित कारण	सुधारने का तरीका
Relation को Function बता दिया	एक input की multiple images check नहीं कीं	पहले elements को input की तरह scan करें
Range गलत निकली	पूरे Codomain को Range मान लिया	केवल actual outputs लिखें
Onto/Into उलट दिया	Range और Codomain का संबंध याद नहीं रहा	Onto ⇒ Range = Codomain याद रखें
Composite answer गलत	Function order उलट दिया	(g∘f)(x)=g(f(x)) लिखकर शुरू करें
Inverse गलत	x और y बदलने के बाद algebraic step में गलती	अंत में f(f^-1(x))=x से check करें
Equivalence गलत	तीनों properties check नहीं कीं	R-S-T checklist इस्तेमाल करें

16. इस Chapter को 3 चरणों में कैसे तैयार करें?

Phase 1: Concept

पहले Relation, Function, Domain, Codomain, Range और Function Types को समझें। इस चरण में केवल questions solve करने की जल्दी न करें।

Phase 2: Application

अब ऐसे questions हल करें जिनमें आपको किसी mapping से property identify करनी हो। जैसे One-One, Many-One, Into और Onto।

Phase 3: Speed + Accuracy

अंत में MCQs, Assertion-Reason और case-based questions को समय सीमा के साथ हल करें। गलत questions को दोबारा केवल answer देखकर नहीं, बल्कि अपनी गलती के कारण के साथ लिखें।

Concept → Application → Error Analysis → Revision

17. 10-Minute Self-Test

अब नीचे दिए गए questions का उत्तर बिना ऊपर देखे देने का प्रयास करें।

Relation और Function में सबसे महत्वपूर्ण अंतर क्या है?
Domain क्या है?
Range और Codomain में अंतर क्या है?
One-One Function की पहचान कैसे करेंगे?
Onto Function की पहचान कैसे करेंगे?
Bijective Function किसे कहते हैं?
(g∘f)(x) में पहले कौन-सा function लागू होता है?
Inverse Function के लिए bijectivity क्यों महत्वपूर्ण है?
Equivalence Relation की तीन properties कौन-सी हैं?
f(x)=x² पूरे real numbers पर One-One क्यों नहीं है?

अपना Result कैसे देखें?

9–10 सही: Concept अच्छी तरह समझ में आ चुका है।
7–8 सही: Concepts ठीक हैं, लेकिन application questions का अभ्यास बढ़ाएँ।
5–6 सही: Domain/Range और Function Types दोबारा पढ़ें।
0–4 सही: पहले basic concepts समझें, फिर MCQs करें।

18. Final Revision Sheet

Concept	एक लाइन में याद रखें
Relation	A × B का कोई subset
Function	हर input की exactly one image
Domain	Input set
Codomain	निर्धारित possible output set
Range	Actual outputs
One-One	अलग inputs → अलग outputs
Many-One	अलग inputs → एक ही output संभव
Onto	Range = Codomain
Into	Codomain का कुछ हिस्सा unused
Bijective	One-One + Onto
Identity	f(x)=x
Composite	(g∘f)(x)=g(f(x))
Inverse	Mapping को reverse करने वाला function
Equivalence Relation	Reflexive + Symmetric + Transitive

19. परीक्षा से पहले अंतिम तैयारी कैसे करें?

इस chapter के लिए केवल MCQs की संख्या बढ़ाना जरूरी नहीं है। बेहतर परिणाम के लिए गलतियों का pattern समझना अधिक उपयोगी है।

पहले Domain, Codomain और Range को बिना किताब देखे समझाएँ।
Relation और Function के बीच कम-से-कम दो examples बनाइए।
One-One और Many-One की पहचान वाले questions हल कीजिए।
Into और Onto के लिए mapping diagram बनाकर practice कीजिए।
Composite Function में order की practice कीजिए।
Inverse निकालने के बाद composition से answer verify कीजिए।
Equivalence Relation में Reflexive, Symmetric और Transitive तीनों check कीजिए।
अंत में timed MCQ test दीजिए।

20. इस Practice Page की खास बात

इस page का उद्देश्य केवल “कितने questions दिए गए हैं” बताना नहीं है। इसका उद्देश्य विद्यार्थी को यह समझाना है कि किसी question को देखकर कौन-सा mathematical concept सक्रिय करना है।

उदाहरण के लिए यदि किसी question में दो अलग inputs की same image दिखाई जाए, तो केवल answer “Many-One” याद करने की जगह विद्यार्थी यह समझ सके कि One-One की condition टूट रही है।

इसी तरह यदि Codomain में कुछ elements की image नहीं है, तो विद्यार्थी केवल “Into” शब्द याद न करे बल्कि यह समझे कि Range, Codomain को cover नहीं कर रही है।

इसी conceptual approach से नए और बदले हुए प्रश्नों को भी हल करना आसान होता है।

Frequently Asked Questions

1. Relation और Function में क्या अंतर है?

Relation A×B का कोई subset हो सकता है, जबकि Function ऐसा relation है जिसमें प्रत्येक input की exactly one image होती है।

2. Domain और Range में क्या अंतर है?

Domain inputs का set है जबकि Range function से वास्तव में प्राप्त outputs का set है।

3. Codomain और Range क्या समान होते हैं?

हमेशा नहीं। Onto Function में Range और Codomain समान होते हैं।

4. Bijective Function क्या है?

जो Function One-One और Onto दोनों हो, वह Bijective Function कहलाता है।

5. क्या हर Onto Function का inverse होता है?

केवल Onto होना पर्याप्त नहीं है। उपयुक्त inverse function के लिए One-One property भी आवश्यक होती है; इसलिए bijectivity महत्वपूर्ण है।

6. Composite Function में पहले कौन-सा function लगाया जाता है?

(g∘f)(x)=g(f(x)) में पहले f और उसके बाद g लगाया जाता है।

7. f(x)=x² पूरे real numbers पर One-One क्यों नहीं है?

क्योंकि f(2)=f(-2)=4. दो अलग inputs की image समान है।

8. Equivalence Relation के लिए कौन-सी properties आवश्यक हैं?

Reflexive, Symmetric और Transitive।

अंतिम बात

संबंध एवं फलन अध्याय को मजबूत करने का सबसे अच्छा तरीका केवल definitions याद करना नहीं है। पहले mapping को समझें, फिर उसकी property पहचानें और उसके बाद formula या theorem लागू करें।

यदि आप किसी प्रश्न का answer गलत करते हैं, तो केवल सही option देखकर आगे न बढ़ें। यह लिखें कि गलती concept, calculation, condition या question-reading में से किस कारण हुई। यही छोटी आदत आपकी accuracy को काफी बेहतर कर सकती है।

इस page को पहले concept revision के लिए पढ़ें, फिर MCQs को बिना answers देखे हल करें, और अंत में Self-Test तथा Challenge Questions से अपनी वास्तविक तैयारी जाँचें।