बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 1: संबंध एवं फलन (Complete Notes & VVI Questions)
बिहार स्कूल एग्जामिनेशन बोर्ड (BSEB) 12वीं वार्षिक परीक्षा के दृष्टिकोण से गणित विषय का प्रथम अध्याय "संबंध एवं फलन" (Relations and Functions) बेहद महत्वपूर्ण माना जाता है। इस अध्याय से वस्तुनिष्ठ (Objective) और विषयनिष्ठ (Subjective) दोनों प्रकार के सवाल बहुतायत में आते हैं। विद्यार्थियों की सुविधा के लिए इस गाइड में पूरा चैप्टर, इसके नियम, महत्वपूर्ण सूत्र तथा बोर्ड परीक्षा में आने वाले VVI प्रश्नों का Step-by-Step समाधान सरल भाषा में प्रस्तुत किया गया है।
विषय सूची (Table of Contents)
- 1. संबंध और इसके मुख्य प्रकार (Types of Relations)
- 2. फलन तथा उसके विविध प्रकार (Types of Functions)
- 3. ऑब्जेक्टिव प्रश्नों के महत्वपूर्ण शार्टकट सूत्र
- 4. VVI Objective Questions (वस्तुनिष्ठ उत्तर व्याख्या सहित)
- 5. VVI Subjective Questions (अति महत्वपूर्ण हल प्रश्न 2 और 5 Marks)
- 6. बोर्ड परीक्षा 2027 के लिए विशेष टिप्स (Exam Strategy)
1. संबंध और इसके मुख्य प्रकार (Types of Relations)
मान लीजिए \(A\) और \(B\) दो अरिक्त (Non-empty) समुच्चय हैं। तो उनके कार्तिकी गुणन \(A \times B\) का कोई भी उपसमुच्चय (Subset) \(A\) से \(B\) में एक संबंध (Relation) प्रस्तुत करता है।
यदि समुच्चय \(A\) पर कोई संबंध \(R\) परिभाषित है, तो इसके तीन प्रमुख भेद होते हैं:
- (i) स्वतुल्य संबंध (Reflexive Relation):
यदि समुच्चय \(A\) का प्रत्येक सदस्य अपने आप से संबंधित होता है, तो वह स्वतुल्य कहलाता है।
गणितीय निरूपण: प्रत्येक \(a \in A\) के लिए, \((a, a) \in R\) होना अनिवार्य है। - (ii) सममित संबंध (Symmetric Relation):
यदि किसी युग्म \((a, b) \in R\) होने पर उसका विपरीत \((b, a) \in R\) भी समुच्चय में मौजूद रहे, तो उसे सममित संबंध कहते हैं।
गणितीय निरूपण: यदि \((a, b) \in R \implies (b, a) \in R\) (जहाँ \(a, b \in A\))। - (iii) संक्रामक संबंध (Transitive Relation):
यदि \((a, b) \in R\) एवं \((b, c) \in R\) होने पर \((a, c) \in R\) भी प्राप्त हो, तो संबंध संक्रामक होता है।
गणितीय निरूपण: \((a, b) \in R\) तथा \((b, c) \in R \implies (a, c) \in R\)।
वह संबंध जो **स्वतुल्य, सममित और संक्रामक** तीनों नियमों का पालन करता है, तुल्यता संबंध कहलाता है। बिहार बोर्ड की 5 अंकों की दीर्घ उत्तरीय परीक्षा में इससे संबंधित प्रश्न बार-बार दोहराए जाते हैं।
2. फलन तथा उसके विविध प्रकार (Types of Functions)
यदि कोई प्रतिचित्रण \(f: A \to B\) एक फलन है, तो इसकी प्रकृति के आधार पर मुख्य भेद तालिका में दिए गए हैं:
| फलन का नाम | अवधारणा (Concept) | जाँच की मुख्य शर्त (Condition) |
|---|---|---|
| एकैकी फलन (One-One / Injective) | प्रांत \(A\) के भिन्न-भिन्न अवयवों का प्रतिबिंब \(B\) में हमेशा अलग-अलग होता है। | यदि \(f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\) |
| बहुएक फलन (Many-One) | प्रांत \(A\) के दो या दो से अधिक सदस्यों का सह-प्रांत \(B\) में एक ही सामान प्रतिबिंब होता है। | यदि \(x_1 \neq x_2\) परंतु \(f(x_1) = f(x_2)\) |
| आच्छादक फलन (Onto / Surjective) | सह-प्रांत \(B\) का प्रत्येक अवयव, प्रांत \(A\) के कम से कम एक अवयव का प्रतिबिंब अवश्य हो। | \(\text{परिसर (Range)} = \text{सह-प्रांत (Codomain)}\) |
| अंतःक्षेपी फलन (Into) | सह-प्रांत \(B\) में कम से कम एक ऐसा सदस्य हो जो \(A\) के किसी अवयव का प्रतिबिंब न हो। | \(\text{Range} \neq \text{Codomain}\) |
| एकैकी आच्छादी (Bijective) | जो फलन **एकैकी (One-One)** तथा **आच्छादक (Onto)** दोनों शर्तों को एक साथ पूरा करता है। | Injective एवं Surjective दोनों सिद्ध करें। |
3. महत्वपूर्ण शार्टकट सूत्र (Important Shortcut Formulas)
- यदि समुच्चय \(A\) में \(n\) अवयव मौजूद हैं, तो \(A\) पर कुल संबंधों की संख्या \(= 2^{n^2}\)
- यदि \(n(A) = m\) तथा \(n(B) = n\) हो, तो \(A\) से \(B\) में कुल फलनों की संख्या \(= n^m\)
- यदि दोनों समुच्चयों में समान अवयव \(n(A) = n\) और \(n(B) = n\) हों, तो कुल एकैकी आच्छादी (Bijective) फलनों की संख्या \(= n!\) (n factorial)
- यदि समुच्चय \(A\) में \(n\) सदस्य हों, तो कुल द्विआधारी संक्रियाओं (Binary Operations) की संख्या \(= n^{(n^2)}\)
4. VVI Objective Questions (वस्तुनिष्ठ उत्तर व्याख्या सहित)
प्रश्न 1: यदि समुच्चय \(A = \{1, 2, 3\}\) पर संबंध \(R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}\) परिभाषित है, तो \(R\) है:
व्याख्या: यहाँ \((1,1), (2,2), (3,3)\) उपस्थित होने से यह स्वतुल्य है। साथी ही \((1,2)\) के सापेक्ष \((2,1)\) विद्यमान होने के कारण यह सममित भी है।
प्रश्न 2: यदि समुच्चय \(A\) में कुल 3 अवयव हैं, तो समुच्चय \(A\) पर कुल कितने संबंध बनाए जा सकते हैं?
व्याख्या: सूत्रानुसार, कुल संबंधों की संख्या \(= 2^{n^2} = 2^{3^2} = 2^9 = 512\)
प्रश्न 3: मान लीजिए फलन \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), जहाँ \(f(x) = x^2\) द्वारा परिभाषित है। यह फलन किस प्रकार का है?
व्याख्या: \(f(1) = 1^2 = 1\) और \(f(-1) = (-1)^2 = 1\)। अलग-अलग इनपुट का समान आउटपुट आने के कारण यह बहुएक (Many-one) है। इसके अतिरिक्त ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ किसी का वर्ग नहीं हो सकतीं, अतः परिसर \(\neq\) सहप्रांत (Into)।
5. VVI Subjective Questions (लघु एवं दीर्घ उत्तरीय प्रश्न step-by-step हल)
प्रश्न 1 (5 Marks): सिद्ध कीजिए कि समस्त पूर्णांकों के समुच्चय \(\mathbb{Z}\) में संबंध \(R = \{(a, b) : (a - b) \text{ को } 5 \text{ विभाजित करता है}\}\) एक तुल्यता संबंध (Equivalence Relation) है।
हल (Step-by-Step Solution):
किसी संबंध को तुल्यता सिद्ध करने के लिए हमें इसे स्वतुल्य, सममित एवं संक्रामक सिद्ध करना होगा।
Step 1: स्वतुल्य (Reflexive) की जाँचप्रत्येक \(a \in \mathbb{Z}\) के लिए,
\(a - a = 0\)
चूँकि शून्य (\(0\)) संख्या \(5\) से पूर्णतः विभाजित होता है।
\(\implies (a, a) \in R\)
अतः संबंध \(R\) स्वतुल्य है।
माना \((a, b) \in R \implies (a - b)\), संख्या \(5\) से विभाज्य है।
माना \(a - b = 5k\) (जहाँ \(k \in \mathbb{Z}\))
दोनों पक्षों में \((-1)\) से गुणा करने पर:
\(-(a - b) = -5k \implies b - a = 5(-k)\)
चूँकि \((b - a)\) भी \(5\) से विभाजित होता है, अतः \((b, a) \in R\)।
अतः संबंध \(R\) सममित है।
माना \((a, b) \in R\) एवं \((b, c) \in R\)
\(\implies a - b = 5k_1\) और \(b - c = 5k_2\) (जहाँ \(k_1, k_2 \in \mathbb{Z}\))
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\((a - b) + (b - c) = 5k_1 + 5k_2\)
\(\implies a - c = 5(k_1 + k_2)\)
अतः \((a - c)\) भी \(5\) से विभाजित होता है, जिससे \((a, c) \in R\)।
अतः संबंध \(R\) संक्रामक है।
प्रश्न 2 (2 / 5 Marks): सिद्ध कीजिए कि फलन \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), जो कि \(f(x) = 2x + 3\) द्वारा परिभाषित है, एकैकी तथा आच्छादक (Bijective) फलन है।
हल:
Step 1: एकैकी (One-One) की जाँचमाना कि \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) (प्रांत) में इस प्रकार हैं कि \(f(x_1) = f(x_2)\)
\(\implies 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3\)
दोनों ओर से \(3\) निरस्त करने पर:
\(\implies 2x_1 = 2x_2\)
दोनों ओर \(2\) से भाग देने पर:
\(\implies x_1 = x_2\)
अतः फलन \(f\) एकैकी (One-One) है।
माना \(y \in \mathbb{R}\) (सह-प्रांत) का कोई भी स्वेच्छ अवयव है।
\(y = f(x) \implies y = 2x + 3\)
\(\implies 2x = y - 3 \implies x = \frac{y - 3}{2}\)
चूँकि प्रत्येक \(y \in \mathbb{R}\) के लिए, \(x = \frac{y - 3}{2} \in \mathbb{R}\) (प्रांत में विद्यमान है)।
अब, \(f(x) = f\left(\frac{y - 3}{2}\right) = 2\left(\frac{y - 3}{2}\right) + 3 = y - 3 + 3 = y\)
अतः फलन \(f\) आच्छादक (Onto) है।
6. बोर्ड परीक्षा के लिए विशेष स्मार्ट टिप्स (Board Exam Tips)
- डोमेन एवं कोडोमेन पर विशेष ध्यान दें: प्रश्न को हल करते समय हमेशा ध्यान दें कि फलन प्राकृत संख्याओं \(\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) में है या वास्तविक संख्याओं \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) में, क्योंकि समुच्चय बदलते ही फलन का उत्तर बदल जाता है।
- स्टेप-मार्किंग का लाभ उठाएं: बिहार बोर्ड में स्टेप-मार्किंग होती है। दीर्घ उत्तरीय (5 अंक) प्रश्नों में 'स्वतुल्य', 'सममित' और 'संक्रामक' जैसी स्पष्ट हेडिंग डालकर हल लिखें।
- डायरेक्ट सूत्र याद रखें: वस्तुनिष्ठ (Objective) प्रश्नों को कम समय में हल करने के लिए कुल संबंधों (\(2^{n^2}\)) और कुल फलनों (\(n^m\)) के शॉर्टकट फॉर्मूले अवश्य कंठस्थ कर लें।
Abhi koi comment nahi hai. Pehla comment add kijiye.